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Matematica. — Sulle superficie geodetiche in una varietà 

 qualunque e in particolare nelle varietà a tre dimensioni. Nota 

 del Corrispondente G-. Eicci. 



Il sig. Hadamard (') ha posto il problema di determinare quelle va- 

 rietà, che ne contengono altre da lui dette superficie geodetiche perchè tali 

 che le loro linee geodetiche sono linee geodetiche anche per le varietà, in 

 cui si considerano immerse. Egli ha anche assegnato una espressione cano- 

 nica per i ds z di quelle varietà a tre dimensioni, le quali godono della pro- 

 prietà che per ogni loro punto passa una infinità di superficie geodetiche. 



Partendo da formole stabilite in altra mia Nota ( 2 ), io pongo in equa- 

 zione il problema generale proposto dal sig. Hadamard nel modo seguente. 

 Considerando una varietà Y n+m ad n-\-m dimensioni come definita per mezzo 

 del suo ds 2 e assumendo una varietà V„ ad n dimensioni in essa immersa 

 come indeterminata, stabilisco un sistema di equazioni a derivate parziali, 

 che deve essere reso integrabile dalla espressione y> del ds 2 di V n perchè 

 esistano in Y n+m delle superficie geodetiche V n . Questo sistema integrato 

 per una determinata y> porge una intiera classe di superficie geodetiche 



di Y n+m • 



Il problema di determinare le varietà V )ì+1 tali che per ogni loro punto 

 passi un numero finito di superficie geodetiche V„ equivale a quello di ri- 

 conoscere se le superficie V„, che tagliano ortogonalmente una congruenza 

 normale data di linee tracciate in V n+1 sono .geodetiche ; ed è qui risolto 

 in generale. 



Prendo poi in esame il problema risolto dal sig. Hadamard e, assieme 

 ai risultati già da lui stabiliti, determino le caratteristiche intrinseche 

 delle V 3 , per ogni punto delle quali passa una. infinità di superficie geode- 

 tiche. Kisulta da esse che le traiettorie ortogonali ad una famiglia di su- 

 perficie geodetiche di una V 3 costituiscono sempre una congruenza principale 

 di essa V 3 ; dal che segue prima dì tutto" che le curvature principali dì 

 una V 3 di Hadamard non possono essere tutte distinte. Se èsse sóhó tutte 

 eguali, si ha il caso ben noto dello spazio ordinario euclideo o no ; se, invece, 

 due di esse soltanto sono eguali é se di più la congruenza corrispondente 



(') Cfr. Surles éléments linéaires_ à'filusieufs dimensions. Tóme XXV 6 de là 2 e Sèrie 

 du Bulletrn des sciénces mathématiques. " . .- ■ - Fi-U 



( 2 ) Cfr. Formole fondamentali nella teoria generale delle varietà e della loro cur- 

 vatura. Kendic. della R. Acc. dei Lincei, seduta del 4 maggio 19021 . / 5 : i 



