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Se si suppone geodetica la congruenza [1], è y nx — y 311 = 0 e però 

 vale il teorema seguente: 



« Se in una varietà V 3 due curvature riemanniane principali hanno lo 

 « stesso valore co e la terza a>i è diversa da w, e se la congruenza princi- 

 « pale corrispondente ad è geodetica, co varia soltanto lungo le linee di 

 « questa congruenza. 



« Se co non è costante, la congruenza stessa è quindi geodetica e nor- 

 « male, anzi il suo sistema coordinato covariante risulta dalle derivate di una 

 « funzione rispetto alle coordinate di V 3 ». 



2. Si supponga data in una V„ qualunque una famiglia di oo 1 V n _i per 

 mezzo della congruenza delle sue traiettorie ortogonali. Indicando con X r =X nir 

 il sistema coordinato covariante di tale congruenza, perchè le "V^ siano 

 geodetiche occorre e basta che la equazione 



n 



T l njr X' r = o 

 1 



sia un integrale particolareggiato della equazione delle geodetiche di V„ . 

 Considerando poi la congruenza data \jf\ come associata ad altre n — 1 con- 

 gruenze [1] , [2] , ... [n — 1] costituenti con essa in Y n una ennupla orto- 

 gonale, quelle condizioni sono rappresentate (M, V, 2) dalle equazioni 



Ymj + Ynji = 0 (t , j = 1 , 2 , ... n — 1) . 



Ricordando altresì (M, II, 10) che le condizioni di normalità della con- 

 gruenza [«] sono espresse dalle 



7nij = Ynji 



si riconosce che le precedenti equivalgono alle 



(3) Ymj = 0 1 , 2 , ... n — 1) . 



Queste poi (') per j 4= i ci dicono che considerando le V„_j come im- 

 merse in V„ , ogni linea tracciata sopra una V„_ r può riguardarsi come linea 

 di curvatura di questa. Per j = i esse ci dicono invece che le curvature 

 principali delle V„-.! sono tutte nulle. Rimangono così estese alle superficie 

 geodetiche di una varietà qualunque delle proprietà ben note dei piani dello 

 spazio ordinario. 



Le equazioni stabilite sopra ci dicono ancora che la famiglia di super- 

 ficie ortogonale alla congruenza [_n\ fa parte di infiniti sistemi n upli ortogo- 

 nali di V„ . Si indichi con x n un : parametro della, famiglial-ili superficie 



(') Cfr. Bicci,. Dei sistemi di congruenze ortogonali /ecc., nel voi. I£_serie 5 a delle 

 Memorie della Classe di scienze fisicne di. questa R. Accademia. 1 , • 



