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ortogonali alla congruenza [nj ; con X\ , x% , ... x n -\ quelli di altre n — 1 

 famiglie costituenti con essa in Y„ una ennupla ortogonale e sia 



ds 2 = H* dx\ -\-T3\dx\-\ \- K dx\ 



la corrispondente espressione del ds 2 di V n . Le equazioni (3) assumono la 

 forma 



= 0. 



■■un 



Data la espressione di un ds 2 in coordinate ortogonali, abbiamo così un cri- 

 terio assai semplice per riconoscere se e quali delle famiglie coordinate ri- 

 sultano di superficie geodetiche. 



3. Kiprendiamo ora le considerazioni esposte nella mia Nota sulle For- 

 male fondamentali nella teoria delle varietà e della loro curvatura. Con- 

 siderando ancora una varietà Y n+m ed una Y n in essa contenuta siano 



v = Z M „ c ™ d v» d y* 



q> = y a rs dx r dx s 



ì 



le espressioni dei loro elementi lineari in coordinate generali. Sia poi § u 

 il sistema coordinato covariante di una congruenza di linee tracciate in 

 Y n+m per modo che una sua linea passante per un punto qualunque di 

 V„ giaccia tutta in Y n . Le linee di questa congruenza passanti per punti di 

 V n costituiranno una congruenza di Y n , di cui indicheremo con A (r) il si- 

 stema coordinato controvariante. Varranno così le relazioni 



n n+m 

 —p 



le quali, derivate tenendo conto delle (II) della Nota citata, danno 



n+m m n n n+m 



=2? — Z*, « ywr = *«/« ^ s ACS) *«/« + Z^ ^ sì a >-p Z, ^ ; 



e conseguentemente, indicando con £ m il primo sistema derivato covarian- 

 temente secondo ip dal sistema g u , 



n+m 



Z„ ^ = Z rs ;l( '" , ^ s, Z a ^V, + Z, s ;l(, " s, x s Y v c m y vlr 



