Poiché 



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I„ ^ fm = 0 , Z s V rs) K = 0 



sono rispettivamente per Y„+ m e Y n le equazioni delle congruenze geodetiche, 

 le forinole stabilite ci permettono di concludere che 



« Perchè una varietà Y n sia geodetica per Y n+m è necessario e basta 

 « che siano soddisfatte le equazioni 



ba/rs = 0 



« ovvero (N, (6)) le equivalenti 



«afcft = 0 » . 



Introducendo queste condizioni nelle equazioni (A) , (B') , (C) e (D) 

 della Nota più volte citata, queste assumono la forma 



(A) y«,r=^Thr 



(B) ^ Z r** hu + l w c m , w c rf 



) 3 (n ics) i (O 



(o x„w w tr «r r *r = *r *r *r ^ 



n-i-»n 



(A , k .i , j = 1 , 2 , ... 11 ; a = 1 , 2 , ... m) . 



Ne segue che, data intrinsecamente la varietà Y n + m per mezzo del 

 suo ds 2 , per determinare le varietà geodetiche V„ in essa contenute, con- 

 verrà prima di tutto determinare tutte le forme <p ad n variabili, per le 

 quali il sistema (A , B , C , D) risulta integrabile. Per ogni (p così determi- 

 nata la integrazione di questo sistema darà poi tutte le superficie geode- 

 tiche Y n immerse in V„+ m ed aventi y> come espressione del proprio ds 2 . 

 Ricordiamo che, determinata (f, debbono riguardarsi come incognite le fun- 

 zioni y u , nonché le % llu , £ 2/M , ... ; e le z ìju , z ìlu , ... z m ^; e che al sistema 

 ricordato sopra debbono considerarsi aggiunte le equazioni, cui debbono sod- 

 disfare le f e z testé ricordate perchè possano riguardarsi come sistemi coor- 

 dinati covarianti di una (n -f- m) upla ortogonale di congruenze di Y n+m . 

 Invece le ^i /r , X i/r , ... X njr sono i sistemi coordinati covarianti di n congruenze 

 costituenti in Y n una n. upla ortogonale e del resto qualunque. Ricordiamo 



