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ancora che le condizioni di integrabilità delle (A) e (B) sono contenute 

 nelle (C) e (D) talché noi dovremo preoccuparci soltanto di quelle di queste 

 ultime equazioni. 



4. Stabilite le equazioni del problema proposto in generale, proponia- 

 moci in particolare di riconoscere per ogni varietà V 3 data intrinsecamente 

 per mezzo del suo ds 2 , se essa contiene delle superficie geodetiche V 2 ; e, 

 nel caso affermativo, di determinare tutte queste V 2 . Tenendo conto dei ri- 

 sultati del § 2, le quante volte noi riesciremo 'a determinare in una V 3 le 

 traiettorie ortogonali di una possibile famiglia di oo 1 superficie geodetiche, 

 sapremo anche riconoscere se questa esista o non esista; nel caso afferma- 

 tivo poi il determinarne le equazioni in termini finiti dipenderà dalla riso- 

 luzione di un ben [noto problema di calcolo integrale. Perciò, quando risulti 

 determinato il sistema coordinato di quelle traiettorie, il problema potrà ri- 

 guardarsi come risoluto per quanto riguarda la famiglia di superficie geode- 

 tiche ad esse normali, se una tale famiglia esista. 



Premesso ciò, osserviamo che nel caso nostro, cioè per m = 1 ed n = 2, 

 le equazioni (C) e (D) assumono rispettivamente la forma 



(C) Z W « (W) -^ = K 



P') Z M „« (MV) ^^ = 0 (» = 1,2), 



K essendo l' invariante di Gauss relativo a <f ed a< uv) il sistema triplo con- 

 trovariante, che, come ricordammo, per n = 3 può essere sostituito ai sim- 

 boli di Eiemann. 



Designando con co una indeterminata, le (D') equivalgono alle 



che sono le equazioni delle congruenze principali di V 3 . Dunque 



« Se in una V 3 esistono delle famiglie di oo 1 superficie geodetiche, le 



« traiettorie ortogonali di una qualunque di queste famiglie costituiscono una 



congruenza principale di V 3 ». 



Siano , ? 2/M , £ 3|M i sistemi coordinati di tre congruenze principali 



di V 3 fra loro ortogonali due a due, w l , <a 2 , w 3 le corrispondenti curvature 



riemanniane principali di V 3 , talché si abbia 



a, 



■■v — Zi w * £*7 M ^ 



i/v 



Bendiconti. 1903, Voi. XII, 1° Sem. 



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