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e si ponga' * M = £ 3/M . La (C) ci dà 



K = w 3 



e ci dice cosa già nota, perchè insita nel concetto di curvatura riemanniana, 

 e cioè che per una direzione qualunque questa coincide colla curvatura 

 gaussiana della superficie geodetica ad essa normale. Tenendo conto di questa 

 proprietà, rimane senz' altro soddisfatta la (C), come lo è la (D') assumendo 

 come congruenza z u delle traiettorie normali ad una famiglia di superficie 

 geodetiche una congruenza principale di V 3 . 



5. Si supponga dapprima m 1 = m 2 =w 3 . Pel teorema di Schur il va- 

 lore comune delle tre curvature riemanniane principali di V 3 sarà costante e, 

 designandolo con K, pel teorema del paragrafo precedente sarà pure eguale 

 a K l'invariante di Gauss relativo al ds 2 di ogni superfìcie geodetica trac- 

 ciata in V 3 . Con ciò questo ds 2 rimane determinato a meno di trasforma- 

 zioni puntuali e risulta identicamente soddisfatta la (C) e così pure la (D'), 

 poiché ogni congruenza di V 3 può in questo caso assumersi come principale. 

 Rimangono quindi da soddisfare le equazioni (A) e (B), le quali di per sè 

 costituiscono un sistema completo. Il sistema integrale generale di tale si- 

 stema dipende da sei costanti arbitrarie, che possono determinarsi in modo 

 che una superficie geodetica passi con orientazione arbitraria per un punto 

 arbitrario di V 3 . Ritroviamo così i risultati ben noti relativi allo spazio or- 

 dinario euclideo o no. 



6. In secondo luogo si suppongano due curvature riemanniane principali 

 eguali fra di loro e la terza distinta, talché, posto 



w 2 = w 3 = w ; 



sia ««! =j= oo e si indichi con v u = v lju la congruenza principale corrispon- 

 dente ad co, . 



Potremo riconoscere (§ 2) se esista una famiglia di oo 1 superficie geo- 

 detiche, che taglino ortogonalmente la congruenza [1]. Ci rimane quindi da 

 stabilire se e sotto quali condizioni esistano delle famiglie di superficie geo- 

 detiche, che taglino ortogonalmente una delle oo 1 congruenze principali cor- 

 rispondenti alla curvatura w, le quali sono tutte e soltanto quelle normali 

 alla (1). Indicando ancora con K l' invariante di Gauss relativo al ds- di 

 una qualunque delle superficie geodetiche cercate, le equazioni (C) e (D') 

 per le cose dette sopra, assumono la forma 



(Ci) K — m 



(Di) j_ u v^ Su ==0. 



