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Richiamiamo le espressioni delle 2 U [r, le quali (N(4)) assumono nel 

 nostro caso la forma 



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e sostituiamole nelle equazioni, che scendono per derivazione dalle (Dj). Te- 

 nendo conto altresì delle (A) e indicando con y una indeterminata perve- 

 niamo così alle 



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(4) / I^VWl __ yg _ 



Se queste sono indipendenti dalla (D^, esse determinano la congruenza delle 

 traiettorie ortogonali di una possibile famiglia di superfìcie geodetiche. Pre- 

 scindendo, per ragioni già dette, da questo caso, le (4) assumono la forma 



(4') v uv = — y(c uv — v u r v ) . 



Associamo alla congruenza r l/u altre due congruenze v 2 j U e v 3 , u costi- 

 tuenti con essa in V 3 una tripla ortogonale, poniamo 



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vqm = y'im v *i" v *h (1 , u , v = 1,2,3) 



e confrontiamo colle (4') le espressioni delle v m date da queste per i = 1. 

 Perveniamo così alle 



(5) /123 = y'm == /i2i == /ni = 0 



(6) /l22 = /l33 = — y. 



Ricordiamo ancora (M, II, 4) che, indicando con s' h l'arco delle linee 

 della congruenza [_ff\, e ponendo 



<Jf hih (I/M! i V ' / ' ' \ I V" / r r r r \ 



yu,u = —, r- 7- -+■ 2_i y w — yjih) -+- > • u m y ^ ~ y 



ùo l àò i ■> l J 



Yhlt = Yh+lh+2,ll-t-Vi-h2 



valgono le relazioni 



Yn = Ysi = 0 , 722 = 733 = o ; 



da cui seguono le 



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