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Le (5) ci dicono che la congruenza [1] deve essere geodetica; e che 

 le v u sono le derivate di una funzione v rispetto alle y u e di più che due 

 congruenze qualunque [2] , [3] formanti in V 3 con la [1] una tripla orto- 

 gonale costituiscono rispetto ad essa un sistema canonico (M, II, 3) ; il che 

 si esprime dicendo che la congruenza [1] è isotropa. Da questa proprietà 

 della congruenza [1] segue poi la prima delle (6), la quale ci dice che sono 

 eguali fra di loro le curvature principali delle superficie normali alla con- 

 gruenza [1] considerate come contenute in V 3 . Le (7) infine ci dicono che y 

 è funzione della sola v, come lo è (§ 1) co. 



Dalla isotropia della congruenza [1] segue anche che in V 3 le super- 

 ficie di parametro v fanno parte di infiniti sistemi tripli ortogonali. Assu- 

 miamo in V 3 come coordinate x x , x 2 > %% uno di questi sistemi ortogonali 

 prendendo x x = v. Il ds 2 di V 3 assumerà una espressione della forma 



xp = dx\ + H 2 2 dx\ + H 2 3 dx\ . 

 Le (6) poi danno 



7>logH 2 ^logH 3 



~Ì)X\ ~òX i 



e, assieme alla (7) ci dicono che la espressione di xp si può ridurre alla 

 forma 



xp = dx\ + X Vi , 



X essendo funzione della sola x x e ipi un ds 2 a due variabili x 2 ed x%. 

 Questa espressione di xp non differisce essenzialmente da quella del sig. Ha- 

 damard, e però possiamo concludere che le condizioni (5), quando si inten- 

 dano soddisfatte per ogni dupla [2] [3] formante colla congruenza [1] una 

 tripla ortogonale, sono necessarie e sufficienti perchè la varietà V 2 sia tale 

 che per ogni suo punto passi una semplice infinità di superficie geodetiche. 



7. A questi stessi risultati completandoli possiamo giungere fondandoci 

 unicamente sulle formole stabilite nei paragrafi precedenti. Perciò osserviamo 

 che, come risulta dalla equazione (D^, la congruenza [1] è tale che ogni 

 sua linea, la quale passi per un punto di una V 2 , giace tutta in questa. 

 Possiamo quindi assumere 



?8/« = cos # v 2 f U -j- sen & 



designando così con & V angolo delle linee della congruenza £ 2 /„ con quelle 

 della v 2ju . Dovendo poi la congruenza s u esser normale alle superficie V 2 

 e quindi tanto alla congruenza quanto alla f 2 / M , avremo per le z u le 

 espressioni 



z u = — sen # Vìj U -j- cos & v 2)u . 



