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Da queste la equazione (DO essendo identicamente soddisfatta, rimangono 

 da soddisfare, oltre alla (d), le (A), che per le (8) assumono la forma 



(A,) y ulr = V + (cos & v™ + sen d v™) V 



e le (B). Queste poi, tenuto conto ancora delle (8), ed indicando con Si 

 ed s 2 gli archi delle linee delle congruenze f^jy e g z j u , assumono la forma 



(B') Yzn = 0 



(B") = y 



ys2i 



(BO 



) ^ = / 322 cos # -f- y r 323 sen # . 

 [ 0S2 



Osserviamo che le condizioni di integrabilità delle (Bj) risultano sod- 

 disfatte, tenendo conto delle (5) (6) e (7); e che dalla (B") e dalle (7) 

 segue la 



(9) ^m=&. 



8. La (B r ) e la (9) ci dicono che nelle varietà V 2 le linee [1] sono insieme 

 geodetiche ed isoterme, dal che segue che queste varietà sono applicabili 

 sopra superfìcie di rotazione e che le linee [1] e [2] sono in esse le defor- 

 mate dei meridiani e dei paralleli. 



Ricordando che co e y sono funzioni della sola v, e avendo presente la 

 (B") si riconosce che, se si assumono nelle V 2 come coordinate le linee [1] 

 di parametro v e le loro traiettorie ortogonali [2], la espressione del ds 2 

 delle V 2 assume la forma 

 (a) (p = dv 2 -f G{v)dv 2 . 



essendo 



(10) ÌMM == _ Y 

 e quindi 



G = e zSydv . 



Dunque y> è determinata a meno di trasformazioni puntuali e per con- 

 seguenza tutte le V 2 sono applicabili fra di loro. 



Ritenendo ora (p espressa in coordinate generali .Vi x 2 , assumiamo come 

 congruenza A,/ r quella di parametro v, con che la equazione (B') sarà iden- 

 ticamente soddisfatta, e poniamo 



(B 8 ) v a,) = v (y, y % y 3 ) 



