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Matematica. — Ricerche gruppali relative alle equazioni 

 della dinamica. Nota I di Guido Fubini, presentata dal Socio Luigi 

 Bianchi. 



Il presente lavoro consta di tre Note: la prima Nota studia in gene- 

 rale quei problemi dinamici, le cui forze ammettono un potenziale, e i cui 

 fasci di traiettorie (insieme di traiettorie corrispondenti a uno stesso valore 

 della costante delle forze vive) sono permutati tra loro da un gruppo di Lie ; 

 la seconda determina effettivamente quelli di questi problemi con tre coor- 

 dinate libere ; la terza studia i problemi dinamici, le cui equazioni differen- 

 ziali di Lagrange (definenti i movimenti) ammettono un gruppo di Lie. 

 Quest' ultimo problema è un caso particolare di quello che io ho già riso- 

 luto ('); ma rientra proprio tra quei casi eccezionali che non ho lì conside- 

 rato in generale. Di questi problemi e specialmente del primo già si occu- 

 parono Stackel, Liouville, Painlevé nei Comptes Kendus (1890-95) e nei 

 Leipziger Berichte (1893-97); ambedue queste ricerche e specialmente la 

 seconda danno casi, in cui l'integrazione del problema stesso si può affron- 

 tare con i metodi di Lie. 



La maggiore difficoltà (dice Painlevé) non è di trovare i problemi con 

 un gruppo a un parametro, ma addirittura i problemi con gruppi a più pa- 

 rametri. 



Lo Stackel studia principalmente il primo dei problemi precedenti con 

 mezzi, che a lui stesso sembrano lunghi e faticosi (Leip. Ber. 1897), nè in 

 questa ricerca va più in là dei gruppi a due parametri. Nel presente lavoro 

 con nuovi procedimenti di una grandissima semplicità e valendomi dei ri- 

 sultati e dei procedimenti di altri miei lavori indicherò come si possa pro- 

 cedere alla risoluzione completa dei due problemi precedenti. Nel primo di 

 questi due problemi (unico che sia stato affrontato dallo Stackel) lo Stackel 

 non considera il caso che i fasci di traiettorie coincidano, ossia che la fun- 

 zione potenziale sia costante. Questo è infatti il caso più difficile, che ri- 

 chiede particolari artifizi e neppure noi ce ne occuperemo, perchè esso si 

 trova completamente risoluto nella mia Memoria : Sui gruppi di trasfor- 

 mazioni geodetiche (Memorie dell' Accademia di Torino, 1903). 



1. Cominciamo ora dal primo dei due problemi precedenti. Siano 

 ed {i == 1 , 2 , ... , n) le coordinate libere, t il tempo, U la funzione po- 



tenziale, ^_a iH — jr t — la forza viva; la U e le a ik non dipendano da t. Noi 



Q) Sui gruppi di trasformazioni geodetiche. Memorie dell' Acc." di Torino, 1903. 



