— 503 — 



indicheremo con (2 a ift dxt dx k , U) il nostro problema dinamico; i fasci di 

 traiettorie non sono chele geodetiche degli spazi di cui (U -{- h) 2 a^ dxi dx^ 

 (A = cost) è l'elemento lineare. Come dimostrò Painlevé (Sur ies trans for- 

 mations des équations de la Dynamique. Journal de Mathématiques, 1894, 

 pag. 77) se tra due problemi dinamici 



(2 axk dxi dxn , U) (2 b ik dxi dxn , V) 



si corrispondono i fasci di traiettorie allora si può passare dall' uno all' altro 

 per mezzo di una trasformazione di Darboux, o, in altre parole, si hanno 

 delle relazioni 



(aó — §y 4= 0) V = 2 b il; dxi dx* = («U -f Z 3 ) 2 ^ìu dx z dxn 



ce U — j— p 



dove a , /? , y sono costanti. Allora chiaramente il fascio di traiettorie ( 5 ) 

 (U -j- h) 2aiu dxi dxn è identico col fascio di traiettorie (V -f- k) 2 # is dxi dx% 

 relative al secondo problema, dove sia 



è-\-M 7 ó—yh 



h = — r~r~ ossia — k = . 



y -j- ka fi — ah 



Per esprimere perciò che una trasformazione infinitesima 2 r f r — — 

 trasforma in sè i fasci di traiettorie di un problema dinamico 

 (1) (ds 2 = 2 aik dxi dxn , U) 



basta esprimere che lo muta in un suo trasformato di Darboux : e perciò in 

 primo luogo che trasforma proiettivamente la U (ossia che trasformi le va- 

 rietà U = cost proiettivamente e imprimitivamente) e che trasforma in modo 

 conforme la forma quadratica 2 a^ dxi dxn . Anzi, poiché questa forma qua- 

 dratica deve diventar moltiplicata per un' espressione «U -j- /? (a — cost , 

 fi = cost) troveremo intanto : 



X(U) = l -f- jitU -j- vTJ 2 ; X(2aiK dxt dx k ) = (tU -j- e) 2a iH dxi dx* 



dove X , fi , v , t , a sono costanti. Di più si deve esprimere che se U è tras- 

 formato dalla ^ ^ allora ds 2 resta moltiplicato proprio per «U -)- §. Basta 

 a tale scopo esprimere che anche TJds 2 resta moltiplicato per un fattore 

 lineare in -~ ossia, indicando con s ,rj due costanti che X(Uds 2 )=(s'0-\-r])ds 2 ; 



(') Con questa notazione intendiamo chiaramente le geodetiche relative all'elemento 

 lineare (U -f- h) X aa dxi dxh ■ 



