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poiché ora 



X(XJds 2 ) = X(U) ds* -f- U X(ds 2 ) = [(A + (iTJ -f- rU 2 ) + U(rU + <r)] rfs 2 



se ne deduce t = — r . Abbiamo perciò le equazioni : 



(2) X(U) = l + fiY + )'U 2 X(2 dxi dx H ) = (rU + a) 2 a in dxi dx h . 



Sono queste le equazioni a cui deve soddisfare la X, equazioni tanto più 

 semplici delle complicatissime equazioni dello Stàckel. Queste equazioni ci 

 danno senz' altro i seguenti teoremi, che si possono dire i teoremi fondamen- 

 tali per la risoluzione del nostro problema : 



Le trasformazioni infinitesime del nostro gruppo che lasciano fisse 

 le superficie equipotenziali (U = cost) (') sono trasformazioni simili per 

 lo spazio , il cui elemento lineare è ds 2 = 2 a^ dxi dxn . 



Questo teorema è senz' altro evidente per la v — 0 . 



Per trovare tutti i nostri problemi dinamici, basta determinare 

 quegli elementi lineari ds 2 = 2 a^ dxi dx^ che ammettono un gruppo G 

 conforme possedente un sistema di superficie U = cost come sistema di su- 

 perficie di iw.primitività ; quel sottogruppo r di G per cui sono soddi- 

 sfatte le (2) è il gruppo corrispondente al problema (ds 2 , U); in questo 

 modo si trovano tutti i problemi cercati e i gruppi corrispondenti. 



Questo teorema è per la (2) pure evidente senz'altro; e dai risultati 

 della mia Nota (Sui gruppi conformi. Atti dell'Accademia di Torino, 1903) 

 si trae perciò subito: 



La ricerca dei nostri problemi e dei gruppi corrispondenti sotto 

 forma finita si sa eseguire con sole quadrature. Due trasformazioni infi- 

 nitesime distinte del nostro gruppo hanno traiettorie distinte. 



Se noi non consideriamo come distinti, ciò che pare opportuno fare nel 

 nostro caso, due problemi dinamici, riconducibili l' uno all' altro con una 

 trasformazione di Darboux, possiamo ancora dire: 



/ problemi dinamici (ds 2 , U) che ammettono una trasformazione 

 infinitesima X coincidono con quei problemi per cui ds 2 ammette X come 

 trasformazione simile e le varietà U = cost sono trasformate ìmprimili- 

 v amente da una trasformazione lineare non fratta. 



Infatti con una trasformazione di Darboux, possiamo far sempre che 

 le U == cost vengano da X trasformate con una trasformazione non fratta, 

 ossia che v = 0 ; allora X per le (2) sarà simile per gli spazi di cui ds 2 

 è 1' elemento lineare. 



Quest'ultimo teorema fu già enunciato da Stàckel, che però dice sol- 

 tanto, meno completamente di quanto è qui fatto, che X deve essere per ds 2 



0) Ciò equivale a dire che per esse è A = l it = j/ = 0. 



