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geodetica e conforme; e, per una svista, dimentica di dire che U deve es- 

 sere trasformato da una sostituzione non fratta. 



2. Nei precedenti teoremi si trova già risoluto il nostro problema ; ma 

 per indicare la via più rapida per la effettiva risoluzione, indicheremo un 

 mezzo con cui si possono ancora semplificare le equazioni fondamentali. 

 Poiché U ={= cost prendiamo le varietà TJ == cost come superficie coordinate 

 #j = cost; sia ds 2 = 2 dxi dx k il nostro solito elemento lineare. Nella 

 metrica definita da questo elemento lineare consideriamo le traiettorie orto- 

 gonali delle varietà equipotenziali x x = cost ; e scegliamo i parametri 

 Xz,x 3 ,...,x n in modo che queste traiettorie sieno precisamenle le a? 2 = cost,.., 

 ^? n = cost ('). Sarà perciò a 12 = a 13 = ■•• = a ìn = 0. Poiché di più, come 

 sappiamo, il nostro gruppo è conforme per ds 2 e poiché le % x — cost for- 

 mano un sistema di imprimitività, anche queste traiettorie formano un si- 

 stema di imprimitività e perciò ogni trasformazione del nostro gruppo avrà 



la forma £j (x x ) (- ^_ £i(x 2 , x 3 , ... x„) . Poiché la x x è trasformata 



proiettivamente, avremo che £ x è un polinomio di secondo grado in (xi) ; pel- 

 le (2) potremo scrivere che ogni trasformazione del nostro gruppo è del tipo : 



(3) X = (l + fixi + vx\) — + J £i(x 2 , ... x n ) — 



mentre la forma quadratica è: 



(4) ds 2 = a n dx 2 i -f- ^_ a,- ft dxi dxu . 



2 



E le equazioni fondamentali assumono la forma semplicissima: 



(5) X(ds 2 ) = (— vx, + a) ds 2 

 la quale, posto 



(0) X(ds 2 ) = 2 d ik dxi dx k dove dm = 2 r ('§ r 4- a ir 4- a kr 



\ l>X r ÌXn ÌXiJ 



diventa: 



(7) a'a, = (— vsni + G ) Oik 



che noi chiameremo equazioni di Killing generalizzate. E troviamo così: 



Per trovare tutti i nostri problemi, basta determinare tutti gli elementi 

 lineari (4), e i gruppi formati da trasformazioni del tipo (3), per cui 

 valgono le (7). 



Se G è il gruppo, esso conterrà un sottogruppo r che lascia fisse 



(0 D'ora in poi, quando parleremo di proprietà metriche, intenderemo sempre di 

 riferirci alla metrica definita dall'elemento lineare ds 2 = 2a i - k àxiàx\. 



