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le X\ = cost (e quindi anche i singoli fasci di traiettorie) e che per le (7) 

 non è altro che un gruppo di similitudini {eventualmente ridotto all' identità) 

 per gli spazi, il cui elemento lineare è 



n 



(8) ds 2 ! == ^_ a ik dx-i dx* . 



2 



Trovati perciò tutti gli elementi lineari (8), che ammettono un gruppo r 

 di similitudini generato da r trasformazioni Xi , X2 , ... , X r _i . ~$L r per cui 

 valgano le X* (ds 2 ) = £ i ds 2 (f; = cost) basterà poi trovare # u , in modo 

 che Xi(a u ) = a n per aver così determinato tutti i problemi dinamici che 

 ammettono un gruppo T; questa determinazione per i risultati della mia Nota 

 citata si sa fare completamente. Per determinare poi i problemi, per cui G 

 trasforma le X\ = cost a un parametro basta tra i precedenti cercare quelli 



che ammettono una trasformazione X — x z i f- ^_ h (x 2 •■• x„) — — (t = 0 



oppure e = 1) perchè noi non consideriamo distinti duè problemi trasformati 

 di Darboux. Se vogliamo cercare quelli il cui gruppo G trasforma le ,£ 1 = cost 

 a due parametri dobbiamo cercare quelli tra i precedenti che ammettono 

 tanto una trasformazione X per cui e = 0, quanto una per cui f = 1. Quelli di 



questi, che ammettono anche una trasformazione x 2 x r— fi (#g. — — 



c X\ 2 ^òXi 



sono quelli, il cui gruppo G trasforma le x x = cost a tre parametri. Aggiun- 

 gerò ora una facile osservazione: 



Se r non è tutto composto di puri movimenti per ds 2 x e se ha r^>l 

 parametri, quel suo sottogruppo r' a r — 1 parametri ( x ) di puri movi- 

 menti per ds 2 i è certamente intransitivo nelle moltiplicità (x 2 ... x n ) su cui 

 opera. E infatti se Xi ... X r _i sono le sue trasformazioni generatrici, X r è l'ul- 

 teriore trasformazione generatrice di r, sarà X^ds 2 ^) = 0 (i = 1 , 2 , .., r — 1) ; 

 X r (ds 2 x ) = hds 2 i (h = cost). E per le (7) sarà Xi(a n ) = 0 (i= 1 ,..,r=l), 

 X r (a u ) =■ ha xl . Poiché X r non è un movimento, è A=j=0; se r' fosse tran- 

 sitivo, sarebbe per le precedenti equazioni a n indipendente dalle X 2 .•» Xyl , 

 cosicché sarebbe X r (a u ) = 0 contro il supposto. 



(') Cfr. la mia Memoria citata. 



