— 21 — 



Iu virtù delle (5') e (3') il valore che compete ad e sopra la 2 è: o per 

 h — — fi 2 ; n per h = fi* . 



Nel fare lo sviluppo potranno pertanto trattarsi come quantità di primo 

 ordine t nel caso bi): n — s nel caso b 2 ). 



L'integrale delle forze vive, tenendo conto della (5'), può essere scritto: 



2p 2 -\- j r' 2 — fi 2 co.s e = cost , 

 da cui, limitando lo sviluppo del coseno alla parte di secondo ordine, 



(3") 2p 2 -f- | r* -f | ,u 2 s 2 = cost nel caso b,) 



(3"') 2 p 2 -f- £ r 2 — | ^(tjt — t) 2 = cost nel caso b z ). 



Si ha poi, dall'integrale delle aree, 



(4') 2 jcos m jy -f- ÙYì\ -f- sen m , r = c , 



e da quello della Kowalevsky 



(5"') y[ — 2 ù q' — 0 . 



Si noti che ho qui attribuito il valore zero alla costante del secondo 

 membro, perchè la stabilità della 2, che è stazionaria, di fronte all'inte- 

 grale (5) (della Kowalevsky) va indagata colla stessa relatività, cioè nel- 

 l'àmbito delle soluzioni, per cui la costante u 4 dell'integrale (5) conserva 

 il medesimo valore. 



Ove si tratti alla stessa stregua l' identità geometrica y\ -f- y\ -j- y\ = 1 

 se ne desume l'ulteriore integrale lineare 



cos u . y'i -J- sen u . y' 3 = 0 . 



5. Mercè quest'ultimo e la (5") il sistema (II) risulta immediatamente 

 integrabile. Infatti alla seconda e terza equazione di tale sistema si possono 

 imaginare sostituite le relazioni in termini finiti testé ricordate; o, più sim- 

 metricamente, ponendo q' — k sen u , 



(8) y[ = 2 kù sen u , y'%= — 2£%cos«. 



Resta da determinare k, al che provvede la prima delle (II), q' = — -5-/3. 

 Sostituendovi per q' e y' z , k sen u e — 2 kù cosa, si trova & = 0 ossia 

 A = cost. 



Dopo ciò è manifesto che q , y\ , y 3 risultano funzioni periodiche di 

 al pari di ù , cos u , sen % . Ne consegue che, we/ riguardi degli argomenti 

 q • Yi , Yz la 2 si comporta sempre con stabilità. 



6. Il carattere discriminante (della complessiva stabilità della 2") si 

 riporta perciò esclusivamente agli altri tre argomenti p,r,y 9 . Di quest'ul- 

 timo si può, anzi, senz'altro affermare che si mantiene sempre prossimo a 



