— Ga- 

 la serie ottenuta sostituendo nella (3), ai coefficienti a , b , c , ... , i loro mo- 

 duli a , § , y •„. 



Finalmente avremo 



(4') , £ t , ... U , f) = « + + H h + 



+ + + (i). 



La serie (3) sarà detta regolare intorno alla origine £j = £ 2 = ■•■ = 

 = = £ = 0 quando, intorno alta origine, la (4') sarà convergente. 

 3. Ciò premesso, sia una relazione implicita 



(I) f =5P [£.,£,,.. .tn,£] 



dove y è regolare nel senso precedente e non abbia nè termine costante 

 nè termine in f. Io dico che: 



1°) Si può trovare uno sviluppo unico 



(il) f = y[?i. 



tfW/e variabili non permutabili £\ , fa - ••■ tf^e soddisfi formalmente la 

 equazione (I) e non abbia termine costante. 



La dimostrazione è la stessa che nella teoria classica delle funzioni 

 implicite. Si vede subito che un coefficiente della ip si esprime con i coeffi- 

 cienti delle q> e con quelli dei termini della ip di grado inferiore mediante 

 sole addizioni e moltiplicazioni. 



2°) Questo sviluppo è regolare nel senso precedente. 



Infatti, la serie ordinaria (cfr. n. 2) 



- , - L , 0 



è, per ipotesi, convergente per ti , £2 , ••• , £ abbastanza piccole. Risulta 

 allora della teoria ordinaria delle funzioni implicite che l'equazione ordinaria 



C = (P(^ . C-2 , ... t„ , f ) 



ha la soluzione analitica intorno alla origine, a coefficienti positivi e senza 

 termine costante 



£=*=*(fi, ?»,...£«). 



Ma l'equazione 



(') La , C 3 , ... , ?) non è in generale dedotta dalla gp(d , £ a , .... f n , f) sosti- 

 tuendo ai coefficienti a ,b , ... (e + /) ' 'oro moduli. 



