avrà per soluzione formale una serie 



f = *Bi , fi , ». f«] P) 



che è maggiorante ( 2 ) della (II). Peraltro la 



b [f , , fa , - f«] 



ha i suoi coefficienti positivi: dunque la serie che, colle notazioni del n. 2, 

 scriveremo B(d , £2 , ... f n ) risulta identica alla b(£ x , f 2 , ... f„). Quest'ultima 

 serie è convergente, e quindi la 



b\Xi , f 2 , - fn] 



è regolare. Dunque lo è anche la 



(il) ^Lfc.fn-M- 



4. Questo risultato generale contiene appunto quel che volevo dimo- 

 strare. 



Sostituendo nella (I), a Ci , £2 , ••• f n , f, /e funzioni non permutabili 

 fi ,f 2 , ... /"«,/, se ottiene una equazione integrale che ha un senso qualunque 

 siano le funzioni finite fi , f% , ... /*„ , f perchè <jp è regolare. La soluzione 

 di questa equazione è data dallo sviluppo (II) dove si fa la stessa sosti- 

 tuzione: sviluppo convergente j qualunque siano le funzioni finite j\ , f% , ... 

 fn , f, perchè «/' è regolare. 



5. Rimane adesso da dimostrare che l'equazione integrale non può avere 

 altra soluzione che quella già trovata. 



Perciò si impiegherà il metodo sviluppato, nel caso permutabile, dal 

 prof. Volterra ( 3 ). 



Questo metodo è fondato sul seguente lemma: 

 Siano fi , f 2 due variabili non permutabili e £ = fi — £ 2 : si ha 



(ni) fr 1 - fr 1 = ff f 4- fi'- 1 f f » + fr 2 f fi H — f- f f s • 



Per il nostro caso bisognerà aggiungere: 

 Se non si tratta più di 



7vn-l rn+i 



SI S 2 i 



ma, per esempio, di 



9 Sì «/'fi^fi- 4 - yfiVfizfr 4 - 



( l ) Il legame fra <5> (fi) e è quello esposto al n. 2: se nella si suppone 



che le Ci siano numeri ordinari permutabili, si trova la A(k). 



( a ) Estendendo un poco il senso della parola "maggiorante", si dirà che aCi -f- 

 + Wi Ci + <*•&+••• è maggiorante di a'C, + i't,C t + c , f 1 f 1 + ... se a > \ a' | , b > \ b' | 

 C >|c'|,- 



( 3 ) Vedi le lezioni fatte alla Sorbonne, Sur les fonctions de Liqne (Gauthiers- 

 Villars, 1913). 



