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cienti costanti di F ft _ 2 , F s-1 , ... F ft+T _ 4 che per una soluzione ®(x , y) co- 

 mune alle equazioni 



(19) f Ò F(x , s) 0(s , y)ds = 0 ; P<P(:c , s) F(s ,y)ds=- 0. 

 Per convincersene, basta notare che, essendo, per la (18), 



T — 1 



Fft +T _ 2 (^ ,y)~y qì F s+i _ 2 (a; , , 



le funzioni 



r— 1 



F ft+T _ 3 (x , y) , ^~ F ft+ ;_ 3 (^ , #) , 



1=1 



sono due soluzioni delle equazioni 



f F(x , s) k(s ,y)ds= f k{x , s) F(s , y) ds = F ft+T _ 2 (ic , . 



II. — Le funzioni permutabili col nucleo dato. 



7. Abbiamo visto (Nota I) che quando il determinante D è diverso da 

 zero, la funzione più generale permutabile col nucleo (1) è data da 



K(x , y) = K^x , y) -f- 0(x , y), 



ove <P{x , y) è la soluzione generale comune alle equazioni (19) e 



n 



(20) K,(^ , y) = ^ ai, h (fi{x) q h (y) 



i,h=l 



essendo le delle costanti che soddisfanno alle n 2 equazioni 



n ' n 



(21) li A Ar a ir — X h ^A ri arh = 0 (i , h = 1 , ... «) . 



r=l r=I 



Consideriamo ora le forme bilineari 



n n 

 A ft ,i 



A == ^ -y* ; B = ^ x,- ?/ A ; 



i,h=\ h i,h=l 



poiché 



AB = A n <2 rA ; BA = y k hr a ir Xi \j h , 



i,r,h=l i,r,h—\ 



