nerale che l'illustre autore si propone di risolvere per via algebrica. Egli 

 scrive 



(6) ¥{x) = a Q f(x) + a,f\x) + a % f"{x) -\ h <W C2 "V) , 



e si domanda come debbono essere i coefficienti ai affinchè F(a?) risulti un 

 polinomio definito positivo. 



Allontaniamoci per un po' dalle considerazioni di Hnrwitz, e scriviamo 



2 2n 

 f{ X + «,) = f{x) + f f'{x) + f'\x) + - + TgTj / <2M) (^) 



^ A# + "*) = A*/ 



(2n)l 



f{x + a?) = f{x) + -f f(x) + j-^ /"'(*) h — ^(2yì /(2w)(rK) ' 



dove ;x è molto grande : per esempio, non inferiore a 4n . 



Sommando, dopo d'aver moltiplicato per — , otteniamo come primo 

 membro una funzione positiva Y(x), e come secondo membro otteniamo 



(8) ««A*) + ^ A*) +-+^ /«"'(*), 



dove genericamente si è posto s* = a\ + «2 + — + «jl • Se i coefficienti a É , 

 che figurano nella funzione ¥(x) espressa dalla (6), consentono cho, colie a 



tutte reali, si possa porre genericamente 



«0 



H il 



= ai, 0 anche 



(9) 



Si = il fi — , 

 #0 



allora F(#) risulta definita positiva. 



Ciò avverrà sempre quando ( ] ) risultino positivi i determinanti 



(10) 



50 S 1 



51 s 2 



S 0 S\ S2 

 «l S 2 S 3 

 Sì S 3 S4 



ricavati dal discriminante dell'equazione che ha le a per radici. A noi oc- 

 correrà precisare soltanto le prime 2n fra le s i 7 perchè tante ne impegna 



(*) Ved., per esempio, Serret, Cours d'algebre supérieure. Édit. 1877, pag. 579. 



