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la formula (9). Le successive potranno sempre fissarsi tali che i determi- 

 nanti (IO) che le contengono risultino positivi anch'essi (basterà fissare op- 

 portunamente alta l'ultima s). I determinanti (IO) possono scriversi 



ai; 



a 0 a x 

 a x 2a 2 



«o U\ 21 a 2 

 a x 2\a 2 Sla 3 

 2\a 2 3!a 8 4la 4 



o anche nella forma (14) del citato lavoro di Hurwitz. 



Con ciò noi siamo giunti a stabilire una condizione sufficiente affinchè 

 F(ìc) sia definita. Che non è necessaria si vede subito, osservando, per 

 esempio, il polinomio 



f(x) = z*-\-2, 



e (con fl 0 = l , «i = l , #2 = 0) formando 



F(a?) = f(x) + f'{x) = x 2 + 2x + 2 = (x + l) 2 + 1. 



Questa F(#) è evidentemente definita positiva, ma non è positivo il deter- 

 minante 



— 1 . 



a 0 «i 





1 



1 I 



«i 2a 2 





1 



0 



L'esame dei determinanti (11) è molto comodo nel caso del polinomio (2). 

 Se infatti consideriamo il determinante (11) d'ordine generale v, relativo 

 a questo caso, e ne dividiamo la terza colonna per 2!, la 4 a per 3!...., 

 la v ma per (v — 1)!, e poi facciamo semplicissime riduzioni, noi veniamo 

 a trovare il determinante di Vandermonde, costituito colle potenze dei nu- 

 meri 1 , 2 , 3 , ... , r ; cioè un prodotto di differenze positive. Nel caso 



di f 2 {x), l'esame dell'integrale (5) è proprio preferibile ( 1 ). 



Riepilogando, possiamo dire che l' importante questione, alla quale 

 Hurwitz ha rivolto la consueta genialità ed il consueto acume, rimane an- 

 cora effettivamente aperta verso la ricerca di condizioni meno immediate e 

 più praticamente applicabili. 



( l ) Si potrebbe porre il problema: come debbono essere date le costanti X 0 , Àj , 



roo 

 A(«) « v da = A v ammetta per soluzione una 



e/— ao 



funzione A(«) positiva o nulla (non negativa)? Più generalmente, la A(a) potrebbe ricer- 

 carsi tale da rendere positivo l'integrale |a(«) f{oc-\-a) da , esteso anche ad un'oppor- 

 tuna linea che si scosti dall'asse reale. I A v possono intendersi come particolari valori 

 di una funzione ottenuta, se si vuole, per interpolazione. Osserviamo che, anche 



con a complesse, la somma dei primi membri delle (7) si può ottenere positiva; se, per 

 esempio, le ce fossero (ripetute due volte) le radici (2n) me dell'unità, la somma dei se- 



2 



condi membri {(i = in) darebbe Anf-\- f(* n >, cioè una funzione positiva. 



{In) ! 



