On a donc n relations qui peuvent toujours étre écrites sous la forme : 

 / a x {x) = a n (pi(x) -j \-a ln g> n (x) 



(2) 



a q {x) = a ql <fi{x) -\ f- a gn <p„{x) 



<Zq+\ — 0 



= 0 . 



On peut avoir q = n -et aussi = 0. 



On obtiendrait de méme des relations entre les et les tyi{y)' 



l M) = àuViiy) H h *m Vn(y) 



;;;;;;;;;;;; 



Si on effectue la substitution de ces formules dans la relation (1), on trouve: 

 (4) = bft . 



L'étude des relations (3) resulterà de 1 etude des relations (2). Or, les 

 relations (2) sont identiques à celles de la Note citée (page 426). Elles 

 peuvent se transformer de la mème manière. 



Après une transformation linéaire convenable, les fonctions <p n {x) seront, 

 en general, des fonctions principales de ~K(xy). Elles pourront etre des So- 

 lutions de l'éqnation 



(5) Pk(^s) h(s) 



J a 



ds = 0 , 



ou, bien encore, des solutions de l'équation 



(6) CK n (xs) h(s) ds = Q, 



K n (xy) étant un noyau itéré de K(xy). 



Ces conclusions sont encore valables si on a pris pour ~K(xy) la fon- 

 ction ì$(xy) elle-méme. 



Les fonctions ip(y) subissent elles aussi des transformations linéaires 

 par là-méme que l'on modifie les g>(x). Elles deyiennent, en vertu des rela- 

 tions (4), des fonctions principales du noyau K(yx), ou des solutions d'équa- 

 tions analogues à (5) et à (6). 



