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2. Soit maintenant N(xy) une fonction quelconque permutable à K(xy). 

 Soit TH(xy,l) le noyau résolvant de l<t{xy). On peut écrire: 



N{xy , A) = M{xy , A) + ~L{xy , A) , 



M.(xy , A) étant la partie irrégulière de la fonction méromorphe pour un 

 pole Aj d'ordre p. On aura, de plus, 



, k) — (A _ ^ -f (A _ i r A — A x ' 



N(jc^,A) est permutable à K(xy) et le résultat de la composition 

 de ces deux fonctions est: 



P K(xs) h p (sy) ds f K(ccs) h x (sy) „ b 

 Jj^ + 4. I K(xs)L(sy,X)ds = 



(A — A,)* ^ ^ A — A, 

 h p (xs) K(sy) ds ) h } {xs) K(sy) ds 



+ -+^-, 5 + L(^A)K(^) 



ds. 



(A — li) p 

 On peut déduire, de là, 



f K(ccs) = f h(xs) K(sy) ds . 



J a '■'a 



h,(xy) est permutable à K(xy); or, ~h\{xy) est de la forme: 

 h^xy)^^ (fi{x) ^pi{tj) . 



Les fonctions <pi(x) sont un système complet de fonctions principales rela- 

 tives à la constante Aj . 



Les fonctions principales de N(xy) sont donc des combinaisons liné- 

 aires de fonctions principales de ~K(xy) et de solutions des équations (5) 

 et (6). 



Il serait facile de préciser et de montrer, par exemple à l'aide des re- 

 lations (4), que les ip(y) se comportent comme les y(x). 



3. Les propriétés précédentes mettent en évidence l'analogie des fonctions 

 h{x), solutions des équations (5) et (6), et des fonctions principales. Elles 

 sont les fonctions principales pour la constante A x égale à Fintini. On sait 

 que cette analogie ne se ponrsuit pas partout. Les fonctions h(x) indépen- 



( l ) Volterra, Eendiconti R. Accad. dei Lincei, 20 febbraio 1910, § 8. 



