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Legge V. — L'orbila relativa di uno dei due punti B rispetto al- 

 l'altro A non può presentare in nessun punto un contatto di ordine supe- 

 riore al secondo con un cerchio avente per centro A ( ] ). 



Per dimostrare questa legge, prendendo per variabile indipendente la 

 anomalia $ invece del tempo, possiamo ricavare con calcoli elementari dalla 

 (1) e dalla (2) l'equazione 



d 2 r 2 / dr \ 2 , k „,,, > 



dt r 2 



la quale, derivata rispetto a V, se teniamo conto che la (1) dà — = — , 



dxr c 



diviene: 



d 3 r . 2_ i dr \ 3 4 dr \ /d 2 r \ 

 ( ' aW 3 ~^^\ds) ~r dl>)\dV*)~ 



dove M.'(t) indica la derivata di M(^) rispetto al proprio argomento t. 



Ciò posto, se nel punto generico di coordinate r , # esistesse un con- 

 tatto di ordine superiore al 2° tra l'orbita di B ed un cerchio avente per 

 centro l'origine, dovrebbe aversi: 



dr d*r_ d?r_ 



(0) di) ~d& ~ d& ~ ' 



donde dalla (4) : 



(6) M'(0 = 0 



ciò che è contrario all' ipotesi fatta sulla funzione M(t). Un tal contatto 

 non può quindi esistere. 



Legge VI. — Se in un istante qualsiasi t\ , la differenza tra la 

 semiforza viva e la funzione delle forze per il punto B è nulla o nega- 

 tiva; allora (se M(t) diviene oo per t = cc) crescendo il tempo, r deve 

 divenire minore di ogni quantità assegnata. 



Premettiamo alla dimostrazione del teorema il seguente : 



Lemma. — « Se il raggio vettore r diviene oo per t = co , allora 

 posta la funzione M.(t) sotto la forma: 



(7) M(*) = M(O-f-itt(*) = « + M0i 



(*) Fino ad ora si sapeva soltanto che quest'orbita non può essere un cerchio avente 

 per centro A (Lehmann-Filhès), ciò che è immediato perchè la (2) non è soddisfatta da 

 r — cost. La legge V è assai più generale e comprende questo teorema del Lehmann 

 come caso particolare. 



