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dove a è evidentemente costante si ha, qualunque sia ti , 



^ fi{t) dr 



t=00 J fi 



(8) lini ) e^-dt>0 », 



Infatti per la legge IV la r(t) nella nostra ipotesi, avrà certamente 

 un solo minimo in un istante t m - Ora, se t m è anteriore o coincide con ti , 



dv 



poiché da t m in poi la r b funzione crescente del tempo, il rapporto — 



sotto il segno integrale sarà sempre positivo, ed essendo anche positiva 

 per t^> ti il lemma è certamente verificato. 



Nel caso opposto dividiamo l'integrale in due scrivendo, 



dove T è un istante posteriore a t m scelto in modo che sia r T = r (l , ciò 

 che evidentemente è sempre possibile. 



Allora resta facile a verificare che il primo integrale al secondo membro 

 è positivo, e poiché anche il secondo lo è certamente (giacché si ha T > t m ) 

 il lemma risulta anche in questo caso dimostrato. 



Veniamo ora al nostro teorema. Scriviamo per brevità: 



pò) H^-^-èt-^ 



dove, secondo l' ipotesi, h sarà nulla o negativa. 



Ciò posto, la (2) dà, servendoci della posizione (7), per il valore del 

 semiqnadrato della velocità nell'istante generico t 



(U) 2 V —2(\dtì + r» j~ 



7 i ka , P 1 dr .. , P /i(t) dr , 



_ „ + - _ fa - _ ut - u ^ Tt dt- 



rt Jtt r s dt 



Facciamo crescere indefinitamente il tempo, e vediamo se è possibile 

 che r cresca all' infinito. Se ciò fosse, poiché a è costante e h negativa o 

 nulla, avremmo in virtù del lemma precedentemente dimostrato: 



(12) lim v 2 < 0 



ciò che è assurdo. 



