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Neil' ipotesi di h nulla o negativa, la r non può quindi crescere inde- 

 finitamente ; avrà perciò un limite superiore L; e allora, in virtù della 

 legge II, dimostrata nella prima Nota, crescendo il tempo r deve divenire 

 minore di ogni quantità assegnata. C. d. d. 



Legge VII. — Se in un istante qualsiasi ti la conica osculatrice 

 alla traiettoria è un'ellisse od una parabola; in tutti gl' istanti successivi 

 la conica osculatrice sarà certamente ellittica. 



Chiamando con t una quantità compresa fra due istanti generici t x e t 2 

 (gli estremi esclusi) e ricordando che M(7) è funzione sempre crescente del 

 tempo si trova con facili calcoli partendo dalle equazioni (1) e (2) la formula: 



(13) |}<- y U-^M(T)j^-i-j'=ò. 



Notiamo, di passaggio, che questa espressione ha grande importanza 

 perchè interamente analoga al teorema delle forze vive nel problema ordi- 

 nario dei due corpi; anzi essa contiene questo teorema come un caso par- 

 ticolare quando si abbia M(t) = costante. 



La % resta però, sfortunatamente, una quantità incognita di cui solo 

 si sa che è compresa tra l y e t 2 ; e ciò impedisce molte applicazioni di cui 

 la (13) sarebbe suscettibile. 



Ciò posto, poiché nell'istante ti la conica osculatrice è ellittica o pa- 

 rabolica, avremo, per noti teoremi di meccanica: 



(14) ^--r-- = 2 V -~W = h -^ 



dove il segno superiore <C vale per l'ellisse, il segno inferiore = per la 

 parabola. Se quindi t è un tempo qualsiasi, successivo a ti, avremo, dalla 

 (13) e dalla (14) 



(15) -v\ — = h — — |M(t) — a|>-»|— — — . 



Ora, v essendo compreso fra t 2 e ti (gli estremi esclusi) ed essendo 



perciò M(t) ]> a la quantità h — — } M(t) — a\ risulterà negativa e quindi 



r t 



dalla (15) anche la quantità \ v\ — ^(t r j su ^ ei £ <^ o. 



2 rt 



Applicando ora proprietà elementari della teoria delle orbite, poiché 

 nell'istante t la somma delle masse del sistema è M(t), V ineguaglianza 

 trovata, cioè: 



uè) 



