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ci mostra che, nell' istante considerato t 'posteriore a t x , la conica oscula- 

 trice è certamente ellittica. C. d. d. 



Legge Vili. — Qualunque siano le condizioni iniziali se M(/), cre- 

 scendo indefinitamente il tempo, non tende ad alcun limite finito, il moto 

 è certamente instabile; e precisamente: 



1) o il raggio vettore r, crescendo il tempo, diviene minore di 

 ogni quantità assegnata; 



2) oppure tende all'infinito. 



Supponiamo che sia M(t) — oo per t = oo ; se il raggio vettore r non 

 ammette alcun limite superiore, esso tenderà all' infinito ed il teorema è 

 evidente. Nel caso opposto, come nella l a Nota, chiamiamo con « una quan- 

 tità piccola a piacere, con L il limite superiore di r e vediamo se possa 

 aversi sempre r ^> e . 



La (2) ci darà in questa ipotesi: 



d*r c* _ _ kM(t) 

 [ ' dt 2 ^ * 3 L 2 " 



Cioè indicando con Sì 2 una quantità positiva estremamente grande, sarebbe 

 possibile trovare un tempo T tale, che da T in poi si avesse: 



(18, -iF<- 20 ' 



e quindi, integrando: 



(19) r < — Sì 2 (t — T) 2 -\- fi{t — T) 



crescendo il tempo r diverrebbe nullo poi negativo, ciò che è assurdo. 



Quindi se r ammette un limite superiore L , esso deve divenire mi- 

 nore di C. d. d. 



Legge IX. — Se M(t), crescendo indefinitamente il tempo, tende ad 

 un limite finito, oppure diviene infinito di ordine inferiore al primo ri- 

 spetto a t ; allora le condizioni iniziali del moto possono essere tali, che 

 la conica osculatrice alla traiettoria risulti costantemente un'iperbole 



(') Il teorema ha importanza giacché distrugge un errore in cui erano caduti molti 

 autori. Si credeva infatti, fondandosi sull'intuizione, che divenendo infinita la somma 

 delle masse del sistema, l'orbita relativa di uno dei due corpi B intorno all'altro A, 

 dovesse, a lungo andare, restringersi e risultare composta di tanti archi infinitesimi di 

 ellisse. Ciò invece può anche non avvenire, come indica la legge IX, benché M({) cresca 

 all'infinito. Così pure io ho fatto vedere (l a Nota) che affinchè l'urto dei due corpi (in 

 senso fisico, cioè affinchè r divenga < e) avvenga certamente, qualunque siano le con- 

 dizioni iniziali del moto, non basta che M(£; divenga oo per t — oo , ma occorre che 

 essa lo divenga di ordine non inferiore al primo. Per es., se la massa del sole crescesse 

 secondo la legge a-\-b y t , alcune comete iperboliche potrebbero sfuggire alla sua attra- 

 zione ed allontanarsene indefinitamente. 



