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La dimostrazione del teorema diviene assai facile se ricordiamo che 

 nella prima Nota è stato dimostrato che, quando M(t) soddisfa alle condi- 

 zioni ora dette, la velocità iniziale può essere scelta in modo che r divenga 

 oo per / = oo , e che in tal caso le quantità : 



M(t) u f « M(i) dr 

 dt 



(20) k | ^— ^ -jj dt 



si conservano, crescendo indefinitamente t, minori di una quantità fissa Q. 

 Ciò posto la (11) può scriversi : 



(21) - v 2 = h — k ~- -rzdt-{ v — , 



2 J t , r* dt r u 



donde applicando teremi noti si ha per l'eccentricità dell'orbita osculatrice 



6 l ~ k*W{t)U V r** S> k*W{t) ]h 



Se quindi si sceglie h 2Q sarà, per ogni valore del tempo, e 2 ]> 1, e 

 quindi l'orbita osculatrice deve risultare necessariamente iperbolica. 



C. d. d. 



Come già ho detto, le equazioni fondamentali (1) e (2) non sono inte- 

 grabili con i melodi ordinari tranne che per valori particolari della funzione 

 M(t) i 1 ); molti autori hanno perciò ricorso ad integrazioni approssimate, 

 lo propongo ora un metodo di soluzione che a molta semplicità (almeno 

 per piccole eccentricità) unisce un'approssimazione veramente grandissima. 



Poiché la somma delle masse M.(t) cresce (nel caso astronomico) sempre 

 molto lentamente col tempo, non si altererà il moto se nella (2) si sosti- 

 tuisce M(t) con M(t) dove t è un istante molto prossimo a t . Si può p. es. 

 prendere per t V istante in cui il punto B raggiungerebbe l'anomalia & 

 (corrispondente a t) se la somma delle masse restasse costante: t così scelto 

 sarà certo molto prossimo a t, giacché l'accrescimento delle masse resta, 

 nel caso pratico, almeno per molti secoli, estremamente piccolo. 



Per giudicare del grado di approssimazione prendiamo p. es. il sistema 

 planetario; in questo caso, per il leggerissimo aumento della massa solare 

 dovuto alla caduta continua di una quantità di materia cosmica, la terra 

 anticiperà il suo cammino dopo molti secoli ad es. di un giorno. Ora col 

 mio metodo noi immaginiamo che la terra sia attratta in un dato istante 

 dal sole, con una* forza corrispondente non già alla massa istantanea del- 

 l'astro, ma a quella che esso aveva al massimo un giorno prima. 



(') V. Mestschersky, Astr. Nach., Band 159; ved. anche la mia Nota, Sopra rin- 

 tegrabilità delle equazioni Uff. della Meccanica, Tìund. Lincei, 1912, 2° sem., fase 3. 



