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importanti osservazioni per il caso delle funzioni simmetriche. Recentemente 

 poi il sig. J. Soula (') studiò le relazioni che hanno luogo tra due funzioni 

 permutabili e la funzione risultante dalla loro composizione, deducendone 

 delle notevoli proprietà per il caso della simmetria. 



Nella presenta Nota stabilisco dapprima le condizioni necessarie e suffi- 

 cienti per la permutabilità nel caso generale, esprimendole mediante un si- 

 stema di infinite equazioni integrali, il quale nel caso particolare studiato 

 dal prof. Sinigallia rientra in quei sistemi di equazioni integrali studiati 

 nel § 1 della mia Nota: Sulla distribuzione della massa nell'interno dei 

 pianeti ( 2 ). Indi trasformo queste condizioni in modo da potere scrivere in 

 ogni caso, senza limitazione alcuna, la soluzione generale del problema. 



Il caso della simmetria, come risulta già dalla Nota del prof. Volterra ( 3 ) 

 e da quella del sig. Soula, presenta un particolare interesse; ed io qui, in 

 vista delle applicazioni che mi è occorso di farne per la risoluzione di al- 

 cune equazioni integrali in una Memoria: Sopra l'algebra delle funzioni 

 permutabili simmetriche, che sarà quanto prima pubblicata, stabilisco al- 

 cune proprietà delle funzioni permutabili simmetriche, che valgono a mettere 

 in evidenza gli elementi analitici, dai quali dipende essenzialmente la pro- 

 prietà della permutabilità in questo caso. 



Debbo avvertire che in ciò che segue saranno considerate come uguali 

 in un certo campo due funzioni che hanno gli stessi valori in tutti i punti 

 di tale campo, fatta eccezione al più per i punti di un insieme di misura 

 nulla. 



§ 1. — Condizione necessaria e sufficiente 

 per la permutabilità. 



1. Siano p(x,y) , q(x,y) due funzioni sommabili insieme ai loro 

 quadrati nel campo a = \a < # < è , e inoltre nel campo 



[a <. x <. b) per ogni valore di. y, nel campo (a <_ y <- #) per ogni va- 

 lore di x. 



Indichiamo con 



(1) if^x) , t//,(y) ; (f 2 (x) , xp 2 {y) ; ... 



(') Sur la permutabilité de 2 ième espèce, Kend. della R. Accad. dei Lincei, voi. XXI, 

 2° sem. 1912. 



( a ) Ibid., 1° sem. 



( 3 ) Ritengo che il prof. Lauricella volesse riferirsi a quanto si trova nel § 8 della 

 mia citata Nota. In detto § non considero il caso della simmetria; ma la simmetria nasce 

 allorché si suppone che i coefficienti a, s siano tali che a« = a S i • V. V. 



