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la serie (finita o infinita) delle coppie di autofunzioni ortogonali del nucleo 

 p(x , y), e con 



(2) Pi , Pi , ... 



le corrispondenti serie di autovalori : ed indichiamo ancora con 



(3) 0i(>),0 2 (tf),..; 



la eventuale serie di funzioni ortogonali complementare { l ) alla serie orto- 

 gonale delle <pi(x), ossia la eventuale serie che rende chiusa la serie delle 

 SPi(x), e con 



(4) ti{y) , , ... 



la eventuale serie di funzioni ortogonali complementare alla serie ortogonale 

 delle xpi{y). 



Si avrà: 



(5) ( Pi (x)=p i f p(x , y) xpi{y) dy , 



(6) fi(y) =pi f p(x ,y)<fi{x)dx, 



J a 



(7) 0= Cp{x ,y)ti i (x)dx , 



J a 



(8) 0= f p(x , y) ti(y)% . 



J a 



2. Posto: 



fi{oc , y) = fj>(# , fi{x,y)= ( q(x , t) p(£ , y) d£ , 



\ 



si avrà dalle (5), (6), (7), (8): 



(9) f f ,y)<pi{x)xpj{y)dxdy = 



*J a J a 



rb rb rb 



— I P(x , t) q{£ , y) g>i{x) ipj(y) fé dx dy = 

 ?(£ . V) tyAv) tè dy p{x , ì) <fi{x) dx 



J a 



1 f 6 f 8 



==— q{£ , y) fj(y) dMy , 



fi U a J a 



( 9 y r r • «/) 5p<(«) dxd y=\- r r ?o» . ^ «p*^) 



J a J a P% <J a >J a 



(') chiusura dei sistemi di funzioni ortogonali e dei nuclei delle equazioni 



integrali, Ibid. 



