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( 10 ) f f fAx,y)<fi{x)T j {y)dxdy= \- f f 

 (10/ f f f*{x , y) y>i{x) Tj{y) da dy = 0 , 



J a J a 



(1 1) f f A(* i y) dy = Q, 



J a J a 



(11) ' C f b f ì (a ; ,y)0 i (w)xpj(x)dxdy = -^ \ " f"q(x J)d i (x)< Pj (2;)dì; dx. 



3. Ora facciamo l' ipotesi che le funzioni p(x , y) , q(x , y) siano per- 

 mutabili, ossia che si abbia: 



(12) Cp(x , £) ? (£ = fV* , £) ^ , y) rf? ; 



sarà allora /^(a; , «/) = f 2 (x , e/); e quindi, in virtù delle (9), (9)', (10), (10)', 

 (11), (11)', dovrà aversi; 



o!£ rfij = o , 



( Pj Pi I 



a *s a 



(10) " f P ? (É , V) tf> t ($) tj( V ) d§ dr t = 0 , 



(11) " i* f\{5,v)W)toÌ%)&*i = o- 



Viceversa, supponiamo che la funzione q(x , y) soddisfaccia alle condi- 

 zioni (9)", (10)", (11)". Valendosi delle (9), (9)', (10), (10)', (11), (11)', 

 risulterà, in virtù di queste condizioni, 



(9) "' P | f^x , y) - fax , y) \ 9i {x) %{y) dx dy = 0 , 



(10) "' f " P| f,{x , y) - fax , y) \ <fi{x) % } {y) dxdy = Q, 



"6 Cb 



(11)"' \fax,y)-fax,y)\6 i (x)%(y)dxdy = 0. 



*J a J a 



Per altro si ha, in virtù delle (7), (8), 

 f f AO» » y) r i(y) ^ ^ = 



J a J a 



b rb rb 



) p{x , q(Z , y) B^x) tj(y) d% dx dy = 0 , 



a J a J a 



Dfax , y) Oi(x) Tj(y) dx dy = 0 ; 

 a 



