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sicché risulterà ancora: 



(13) f P{ fax , y) - f,(x , y) f B^x) vj(y) dx dy = 0 . 



Poiché le due serie <pi(x) , g> 2 (x) , ... ; 6i(x) , B 2 (x) , ... insieme prese co- 

 stituiscono una serie chiusa di funzioni ortogonali, e le altre due ipi{y) , 

 ipz(y),... ; Tì(y) , f%(y) , ••• insieme prese costituiscono anch'esse una serie 

 ortogonale chiusa, si avrà (') che anche le quattro serie: 



(fi{x)ìpj{y) , 9i{%)vj{y) , Oi{x) ipj(y) , 9t(as) tj(y) 

 (e , y = 1 , 2 , ...) 



insieme prese costituiscono nel campo a una serie chiusa di funzioni orto- 

 gonali; e quindi, in forza delle (9)"', (10)"', (11)"', (13), dovrà aversi in 

 tutto il campo a, fatta eccezione al più per i punti di un insieme di mi- 

 sura nulla: 



fi(x,y) — f % (x,y) = Q, 



ossia le funzioni p(x , y) , q(x , y) dovranno essere permutabili. 



Riepilogando si ha : condizione necessaria e sufficiente affinchè le fun- 

 zioni p(x , y) , q(x , y) siano permutabili è che la funzione q(x , y) sod- 

 disfaccia alle equazioni (9)", (10)", (11)". 



§ 2. — Costruzione delle funzioni permutabili 

 con dna data funzione. 



4. Consideriamo le tre serie di funzioni: 



Pi Pi 



(i,j=l,2,...); 



ed osserviamo che in certi casi qualcuna di queste serie può essere formata 

 da un numero finito di funzioni o può anche mancare, e che in ogni caso 

 le tre serie, insieme prese, sono formate da infinite funzioni. Queste tre serie 

 di funzioni si possono sempre trasformare, ed in infiniti modi, in una serie 

 semplice ( 2 ). Così, ad esempio, basterà scrivere dapprima le funzioni delle 

 tre serie per le quali la somma i-j-j degli indici sia uguale a 2, scrivere 



P) Vedi la mia citata Memoria: Sopra l'algebra delle funzioni permutabili. 



( 2 ) Questa operazione non è essenziale, per il nostro scopo, ma apporta semplificazioni. 



