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di seguito quelle per le quali la somma degli indici sia uguale a 



3, ecc. Indichiamo con 



(14)' X^f , y) , X 2 {x , y) , ... 



le funzioni della serie semplice equivalente alle tre serie (14); e normaliz- 

 ziamo successivamente queste funzioni col noto procedimento di Gram. Si 

 otterrà una serie ortogonale di funzioni della forma: 



(14) " = 



n-i rb rb 



X n \x , y) — Xi^ 35 » v) \ *n t (§ , y) * y) <tè dy 



l J a J a 



{ni < n) ; 



ed inoltre una eventuale serie finita od infinita di relazioni della forma: 



ii . rb rb 



(15) ,y)=y_ i n i (x .y) Xj(£ ,r]) ,r])d$ dr), (;,>;— 1), 



1 ^'a J a 



corrispondenti ciascuna a quelle funzioni Xj (x , y) per le quali eventualmente 

 risultasse : 



f C [Xj (^ v )-f_. /ti (f , v ) P Cxj (r , ri) (li (?' , ri) d? drfldt drj = 0 



La serie (14)" si scrive immediatamente nel caso in cui la funzione 

 p(x , y) sia simmetrica. In questo caso, infatti, si ha: 



rpi ( x ) = (f i (x) , Ti (x) = di (x) , 

 e le tre serie (14) si riducono alle tre seguenti: 



( 14 ) J \ìr~¥) y*(») Pi#) ' 9>. (oc)O s (y) , d r (x)g> s {y), 



per tutti i possibili valori di r ,s e per tutti i valori di i , j per cui jo, =j=^-. 

 La corrispondente serie ortogonale (14)" si otterrà trasformando, secondo 

 una legge qualsiasi, in serie semplici le tre serie ortogonali: 



(14)1' <pi(z)<pj{y) , 9r(x)6 s (y) , O r (x)(p,{y) , 



(«',;', r.«= 1 ,2,...) 



con la condizione jo f =f= . 



