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5. Ora vogliamo dimostrare che le condizioni (9)'', (IO)", (11)" equi- 

 valgono alle altre: 



(16) f rq(^v)M^V)d^rj = 0, (n = 1,2 ,...)• 



J a J a 



Infatti, in virtù delle posizioni fatte, le (9)", (IO)", (11)" si possono 

 scrivere sotto l'unica forma: 



(16)' f 6 C.q(i , ri) X n {ì , rj) # drj = 0 , (rc = 1 , 2 , ...) . 



Da questa e dalla (14)" risulta per n = 1 : 



?(£ » *?) < ri) d$ dri = Q ; 

 allora dalle medesime equazioni per n = 2 e dalla precedente risulterà: 



e così seguitando risulteranno verificate tutte le (16). 



Viceversa, si suppongano verificate le (16). Intanto è evidente che per 

 le Xj{x,y) della forma (15) la (16)' sarà verificata. Per le X n {x,y) che 

 non rientrano nella forma (15), si ha dalla (14/': 



n 



X m {x , y) = YjGì fii(x,y), 

 i 



con ai coefficienti determinati, ed è evidente quindi che anche per esse la 

 equazione (16)' è verificata. 



6. Sia n{x , y) una funzione arbitraria del campo <r, sommabile insieme 

 al suo quadrato in questo campo e inoltre nel campo (a <. x <. b) per ogni 

 valore di y, nel campo («<.«/<- b) per ogni valore di x; allora sarà 

 sempre possibile ('), ed infiniti modi, determinare una serie di numeri, in- 

 teri positivi e crescenti indefinitamente, rti , n 2 , ... in modo che la serie: 



ni rb rb 



, y) = ^ fri 35 > v) ) v) p«(£ * v) tè d^ -f 



«2 rb rb 



+ Z i * y) I I , »?) /»*(£ . r ;) + - 



sia in tutto il campo convergente uniformemente in generale, e la più 



(') Lauricella, Sopita i nuclei reiterati, § 2, Rendic. della R. Accad. dei Lincei, 

 voi. XX, ser. 5*\ 1° seni., 1911. 



