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generale funzione q(x , y) permutabile con la funzione data p(x , y) potrà 

 scriversi sotto la forma : 



(17) q(x , y)f= n{x , y) — n'{x , y) . 



Nel caso particolare in cui la funzione data p(x , y) sia simmetrica, 

 la più generale funzione permutabile con la funzione data p(.x,y), posto: 



aij = f f 7r(f , ij) (fi(%) <pj{rj) d§ dy , b rs = f f w(f , »?) SPr(?) «,(17) d£ afy, 

 tfr S = f f «.(£ , 17) 0 r {$) <Ps(v) (tè drj , 



può scriversi sotto la forma: 



(17)' q{x , y) = n{z , y) — j % y ( (a;) — 



fi 



— X ^r S y r (») Qs{y) — Z c « M«) y«(y) > 



dove r ed s prendono tutti i valori possibili, e / tutti i valori per cui 

 Pi=fcpj, e dove le tre serie al secondo membro sono convergenti uniforme- 

 mente in generale, i loro termini essendo ordinati ed associati in modo 

 conveniente. 



Sempre nell' ipotesi che la p(x , y) sia simmetrica, la più generale fun- 

 zione simmetrica permutabile con la funzione p(x , y) può esprimersi me- 

 diante la formola (17)', con la condizione che la funzione arbitraria n(x,y) 

 sia simmetrica. 



§ 3. — Proprietà delle funzioni permutabili simmetriche. 



7. Siano per ipotesi p(x ,y) , q(x , y) funzioni permutabili e simme- 

 triche; allora si avrà: 



f( x , y ) = f p( x , £) ? (| ,y)d£= f q{x , £) p(? , = /(y , a?), 



ossia la tunzione f(x , y) sarà simmetrica. Viceversa, supponiamo che le 

 funzioni p(x , y) , q{x , ?/) siano simmetriche e che sia inoltre simmetrica 

 la funzione: 



(18) 



f(x,y)= p(x,£)q(£ ,y)d£ . 



•J a 



