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Si avrà: 



(18) ' Cp(x , £) q(S , y) dì = f (a , y) = A</ , x) = 



= f W ' £) ?(£ - *) # = f?^ » f ) p(§ . y) # . 



*J a *J a 



ossia le funzioni p(x , y) , q{x , «/) saranno permutabili. Adunque si può 

 enunciare il seguente teorema : condizione necessaria e sufficiente affinchè 

 le funzioni simmetriche p(x , y) , q(x , y) siano permutabili è che la fun- 

 zione f(x , y) , risultante dalla loro composizione, sia simmetrica. 



8. Posto: 



(19) a i (y)= fV(*. 



e supposto che y abbia un valore costante, si avrà dalla (18), in virtù del 

 teorema di sviluppabilità di Hilbert-Schmidt, 



(20) f{x,y) = Jj<*i{y)<pi{x), 



e la serie al secondo membro sarà uniformemente convergente. 

 Tenendo conto della (18)', la (19) si può scrivere: 



«i(y)= f f p(y , y) <Pi(y) d$ dr; = 



U a J a 



e quindi, posto: 



si avrà, ancora in forza del teorema di sviluppabilità di Hilbert-Schmidt, 



a i{y) = y >_ tt ij 9j(y} » 



e la serie al secondo membro sarà uniformemente convergente. Sostituendo 

 nella (20), risulterà quindi: 



(20/ f(x,y) — 2j *u ^ (*) » (y) • 



Rendiconti. 1913, Voi. XXII, 1° Sem. 45 



