i corrispondenti gruppi di autovalori. Si avrà (*) : 

 (22) *, < U , r 2 < U , ». ; 



Xi(cc) =A„ gpi(au) +^12 ^(a ) -| [- * Wi 9t,(a5) , 



X-^x) =h Tlì (p i (x) + A Tl «SPi(a:) H h *V, 9*^) ! 



) =An 



ZT,+T a («) = # v y« I+ i(tf) + #v sp»,-^») H h #v a ^,+t 2 («); 



e quindi le funzioni dei gruppi (21), insieme prese, costituiranno una serie 

 di funzioni ortogonali, e la (20)" diverrà: 



(20)'" f{x,y)=y i XÀX \ yi{y \ 



fi 



la serie al secondo membro essendo uniformemente convergente nel campo 

 (a <. x <. b) per ogni valore di y, nel campo {a <y <-b) per ogni va- 

 lore di x. 



10. Notiamo che le %\{x) , %%{%) , ... Xti(^) sono autofunzioni di p(x ,y) 

 corrispondenti all'autovalore n x ; / Ti+ i(ìc) , ... x?i+?a{%) all'autovalore ti* ; 

 sicché, indicando generalmente con p[ l'auto valore di p(x , y) corrispondente 

 all' autofunzione ja(cc), sarà : 



(23) »(as) = $ f , Xi(y) dy , 



e in virtù delle (22), si avrà che la serie p[ , p' 2 , ... è certamente contenuta 



nella serie p x , p 2 . ... ; ed allora, essendo la serie Y { — convergente, sarà 



A' 



pure convergente la serie 3^ — ; e quindi ( 8 ) esisterà una funzione sim- 



Pi 



metrica p'(x , y) ed una solamente, sommabile insieme al suo quadrato nel 

 campo e, e nel campo a^x^b per ogni valore di y, nel campo a <. 

 < ^ <. J per ogni valore di ce , la quale abbia per autofunzioni tutte e 



(') Lauricella, Sopra alcune equazioni integrali, § 2, Rendic. della E. Accad. dei 

 Lincei, voi. XVII, ser. 5 a , 1° seni., 1908. 



( a ) Lauricella, Sopra i nuclei reiterati, § 3, pag. 893, Rendic. della R. Accad. dei 

 Lincei, voi. XX, ser. 5 a , 1° sem., 1911. 



