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sole le %i{x) della serie (21) e per corrispondenti autovalori p[,p' 2 ,... ri- 

 spettivamente, ossia tale che: 



rb 



(23) ' xt{x) = pi p'(x, y) »(y) dy . 



J a 



Posto poi: 



p{x ,y) =±p'(% , y) +p"(%,y) , 

 risulterà per tutti i possibili valori di i: 



(24) rf(x,y) X i{y)dy = 0; 

 e quindi ( l ): 



(25) { b p'{x,rùp"(r hy )dr l = 0, 

 e per la simmetria di p'(x , y) e di p"(x , y) : 

 (25)' fV(^)/(^)^ = 0, 



J a 



cioè, valendosi della locuzione introdotta da Goursat ( 2 ), le funzioni simme- 

 triche p'(x , y) , p"(x , y) sono ortogonali, ossia le autofunzioni normaliz- 

 zate di p"{x ,y) sono ortogonali a tutte le funzioni %i(x) della serie (21). 

 11. Si ha dalla (23): 



rb rb rb 



| q(x , rj) Xi{v) di) = v'i\ ) q(x , rj) p(rj , y) Xi (y) drj dy = 



C b v- 



=P'i f{x,y)Xi{y)dy = I jXi{x), 



•> a fi 



ossia, posto: 



si ha: 



Pi 

 fi ' 



(26) xfa) = l'i f ?(* . ttfa) d, ì ; 



sicché tutte le funzioni della serie ortogonale (21) sono autofunzioni del 

 nucleo q(x , y), corrispondenti rispettivamente agli autovalori: 



r Pi , P% 



Ìi — ~T > lì = ~J ' - 

 fi I* 



(*) Schmidt, <?wr Theorie der linear en uni nichtlinearen Integralgleichungen, § 9, 

 Mathematische Annalen, LXIII. 



( 2 ) Goursat, Recherches sur les équations intégrales linéaires, Annales de la Fa- 

 cilitò des Sciences de l'Université de Toulouse, 2 e sér., X. 



