In virtù delle condizioni di sommabilità, poste fin da principio, per la 



funzione q(x , y), si ha che la serie — !j è convergente; e perciò esisterà 



9.1 



una funzione simmetrica q'(x , y) ed una solamente, avente per autofunzioni 

 tutte e sole le funzioni %i{x) e per corrispondenti autovalori le costanti q\^ 

 In questo modo, insieme alla (26), si avrà: 



(26') %i{x) = q'i f q\x , rf) Xì(r)) dt] ; 



J a 



e quindi, posto: 



q(x , y) = q\x , y) + q"(x , y) , 

 risulterà per tutti i possibili valori di i: 



(27) rV(*.i?)*fo)<fy=:i>; 



donde segue che le funzioni q'(x , y) , q'\x , y) sono tra loro ortogonali, 

 ovvero che le autofunzioni normalizzate del nucleo q\x , y) sono ortogo- 

 nali a tutte le funzioni %i(x) delle serie (21). 

 12. Posto: 



f\x , y) = f p\x , ?) q'{$ , y) dS, 



risulta : 



(28) fi fV(» , V) Xi(y) dy = fi [ b r P '(x , £) ? '(| , y) # # = 



= ^ f b p'(x , $) *(*) # = = »(«) ; 



e se /(#) è una funzione qualsiasi ortogonale alle funzioni %i(x) della serie 

 (21), si avrà : 



fV(*.*) X'(y)dy = 0; 



J a 



e quindi ancora: 



(29) Vf\x , y) X '(y) dy = f V V \x , ì) q'($ , y)) x'(y) dìdy = 0. 



Dalle (28), (29) segue che la funzione f'(x , y) ammette come autofunzioni 

 tutte e sole le funzioni della serie (21) e come corrispondenti autovalori 

 le fi; quindi essa coincide (*) con la funzione f(x,y). 



(*) Lauiicella, Sopra i nuclei reiterati, loc. cit. 



