344 — 



Rammentiamo che le funzioni p\x , y) , q'(x , y) hanno per autofunzioni 

 tutte e sole le funzioni della serie (21); per cui, in virtù della (24), 

 le funzioni p"(x , y) , q'(x , y) sono ortogonali, ed in virtù della (27), anche 

 le funzioni q"(x , y) , p\x , y) sono ortogonali. 



Ciò posto, avremo : 

 f(x , y) = f p(x , ì) j(? ,yf<% = 



J a 



= ( V(* , f) ,*)( , y) + f{$ , y)\ dì = 



= r w , i) <?'(£ ^) ^ + r , « , y) ^ = 



= f(x,y)+ { b p"{x^)q'\^y)d^- 



quindi 



"p"(xJ)q"(Z 1 >j)dì = 0; 



e in forza della simmetria: 



f q n (à: J)p"(S,x) dg = 0 . 



Queste due formole ci dicono che le funzioni p"{x , y) , q"(x , y) sono 

 ortogonali, ossia che le autofunzioni del nucleo p'\x , y) sono ortogonali 

 a quelle del nucleo q"(x , y). 



In virtù di quanto precede si ha che le funzioni della serie (21), le 

 autofunzioni di p"(x,y) e quelle di q"(x,y) insieme prese costituiscono 

 una serie ortogonale 2. 



Riassumendo si ha quindi: se due funzioni simmetriche p(x,y) ,q{x,y) 

 sono permutabili, esisteranno quattro funzioni simmetriche p'(x ,y) ,p"(x,y), 

 q'(x , y) , q"(x , y) tali che p{x , y) = p'(x , y) + p"(x , y) , q(x , y) = 

 q'(x , y) -J- q"{x , y) e tali ancora che p'(x , y) , q'(x , ?/) avranno per auto- 

 funzioni tutte e sole le funzioni di una medesima serie ortogonale, p'{x.y) 

 sarà ortogonale a p"(x , y) , q'(x , y) a q"(x , y) , p'(x , y) a q"(x , y), 

 q'(x , y) a p"(x , y) e p"(x , y) a q"(x , y) ; ovvero : esisterà una serie 2 

 di funzioni ortogonali, la quale conterrà le auto funzioni di p(x , y) e 

 quelle di q(x , y). 



La reciproca di questa proposizione è evidente; sicché la condizione 

 precedente è necessaria e sufficiente per la permutabilità. 



Si può anche enunciare il seguente teorema: se tre funzioni simme- 

 triche p(x , y) , q(x , y) , f(x , y) sono legate dalla relazione (18), esisterà 



