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una serie 2 di funzioni ortogonali, la quale conterrà le autofunzioni di 

 p(x , y) e di q{% , y) ; le auto funzioni di f(x , y) saranno tutte e sole le 

 auto funzioni comuni a p{x , y) ed a q(x , y), e fra i corrispondenti auto- 

 valori fi,p'i,q'i sussisterà la relazione: f t = jf< q\ . 



13. Si può dare il seguente procedimento per ricercare, date due 

 funzioni simmetriche p(x , y) , q(x , y) permutabili fra di loro, una serie 

 di funzioni ortogonali 2 contenente le auto funzioni di p(x , y) e di q{x , y). 



Sia <pi{.t) , g>i(a) . ... la serie delle autofunzioni normalizzate di p(x,y), 

 e ìpi(x) , xp<ì(x) , ... la serie delle autofunzioni normalizzate di q(x,y). Si 

 indichi con P" l' insieme delle funzioni y>i(x) tali che 



I 



b 



q{% i y) <pdy) dy = o, 



con Q" l'insieme delle funzioni xpi(x) tali che 



f p{x , y) xpi{y) dy ="0 : , 



J a 



e con F l' insieme delle autofunzioni normalizzate di 

 (18) f(x,y)= ( b p{x,S)q(ì=,y)d$ 



J a 



Si avrà: 



2 = F + P" + Q". 



Per ottenere l'insieme F delle autofunzioni comuni a p(x,y) ed a 

 q(x,y), si può anche operare direttamente sulle (fi(x), ovvero sulle ipi(x), 

 senza ricorrere alla funzione f(x , y) . 



14. Ci si può ancora proporre il quesito di trovare la più generale 

 funzione simmetrica q{x ,y) soddisfacente all'equazione (18), supposte note 

 le funzioni simmetriche p(x , y) , f{x , y). 



A tal uopo si indichi con P" l'insieme delle autofunzioni g>i(x) di 

 p(x , y) tali che : 



f f(x,y) <Pi(y)dy = 0, 



J a 



con F l'insieme delle autofunzioni normalizzate di f(x,y), e con R l'in- 

 sieme delle funzioni ortogonali che rende chiuso l' insieme P" -f- F , ossia 

 l'insieme complementare a P"-j-F. La funzione q(w,y), avente per auto- 



