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funzioni le funzioni di F ed un insieme qualsiasi di funzioni ortogonali Q" 

 contenuto in R, e per corrispondenti autovalori un insieme qualsiasi di co- 

 stanti q x ,q<t, ... tali che la serie 2i \ sia convergente ('), sarà la funzione 



li 



cercata. 



15. Infine daremo un metodo diverso da quello precedente (§ 2, n. 6) 

 per scrivere la più generale funzione simmetrica q(x , y) permutabile con 

 una data funzione simmetrica p(x ,y) . 



Si scinda l' insieme delle autofunzioni normalizzate di p(x , y) in gruppi 



(f\{x) , (p 2 {x) . ... <p ti {x) ; g> u+l , ... g>t,+t a (a) ; ... 



tali che 



pi = p 2 = - = pn = riy , p tl+1 = ■•• = p tl+h = 7l 2 , ... 



Si indichino con a rs gli elementi della più generale sostituzione orto- 

 gonale di ordine t, <_ t x ; si indichino con r x , r 2 , ... r Tl , r, dei primi t x 

 numeri naturali; e si ponga: 



[ Zi (#) = a n (p ri (x) -f a„ q> n {ai) ^ (- a 1Xl <fr r {x) , 



(30) 



( Xti(«) = Otu SPri(») + «Ti«SPr,(aO H h ti 9V Ti (#)- 



Operando nel medesimo modo sulle funzioni (pi(x) del secondo gruppo 

 <Pti+i{&) , •» 9>ti->-h{%) , e così seguitando ad operare sulle funzioni dei gruppi 

 seguenti, si otterrà un insieme <P di funzioni ortogonali % x {x) , %ì{x) , ... Si 

 indichi con P" l' insieme delle funzioni y>i(x) che via via si sono escluse 

 nelle espressioni (30), e con K l'insieme complementare all'insieme P"+<P. 

 La funzione q(x,y), avente per autofunzioni le funzioni dell'insieme <P e 

 inoltre quelle di un insieme qualsiasi contenuto in K , e per corrispondenti 



autovalori un insieme qualsiasi di costanti q x , q t , ... tali che la serie 



li 



sia convergente, sarà la funzione cercata. 



Catania, Dicembre 1912. 



(*) Lauricella, Sopra i nuclei reiterati, loc. cit. 



