le funzioni / e F saranno determinate dalle forinole : 



(4) 



l 2f(x) = y(x) + y(-x) + ~l<p'(x)-<p'(-x)-] , 

 | 2 F(x) = <p'(x) + x) + ~ [</>» - g>"(- x)-] . 



Il problema più importante è però l' inverso del precedente, quello cioè 

 in cui sono date le condizioni iniziali e ci si propone, con l'aiuto, natural- 

 mente, della I), ovvero della I'), di determinare la funzione y. Integriamo 

 perciò la seconda delle (4), aggiungiamola, quindi, una volta, alla prima, ed 

 un'altra volta sottragghiamola. Troviamo così le due equazioni: 



\ <p'{x) + a 2 <p{x) = a 2 f Pi» dx + f{x)~] + F(0) , 

 II) LJo x J 



) 9 '{— x) — a 2 <f{— x) = a 2 ^ \y{x) dx — f(x)~^ + F(0). 



Queste equazioni determinano <p(x) nell'intervallo — l<^x<.l, mentre 

 la 1) permette allora di determinare la stessa funzione in ogni altro inter- 

 vallo successivo o precedente di ampiezza 21, se siamo nel caso delle vibra- 

 zioni libere. Nel caso delle vibrazioni forzate è la I') che permette di rag- 

 giungere lo stesso scopo 



5. Prima di passare a dare le forinole di risoluzione generali del 

 nostro problema, fermiamoci un momento a considerare le oscillazioni armo- 

 niche di cui è capace il nostro sistema. Per ognuna di tali oscillazioni si 

 deve poter soddisfare a tutte le condizioni del problema dando alla fun- 

 zione <p la forma 



(5) <p(y) = e 



nyY-i 



Nel caso quindi delle vibrazioni libere, a causa della I), k dev'essere 

 radice dell'equazione (equazione nella frequenza) 



(6) cotg(M) = jh 



nel caso, invece, delle vibrazioni forzate, nel qual caso vale la I'), si ri- 

 chiede che k non soddisfi alla (6) e che 1>(y) sia proporzionale a (p(y). 

 Viceversa se ki è radice della (6), nel caso delle vibrazioni libere, se non 

 soddisfa a questa equazione, nel caso delle vibrazioni forzate, e 4>(y) è 

 la parte reale o il coefficiente dell'immaginario di e Hy ^~ l , determinando 

 opportunamente le condizioni iniziali, il nostro sistema compirà delle oscil- 

 lazioni armoniche. Supponendo, in particolare, 



<p{y) = cos ky, 



