— 352 - 



la corrispondente soluzione del nostro problema sarà 



k ~ 1 



cos k(l — x) — — sen k(l — x) 



cos ky 



che, per ,v = 0, si annulla o resta proporzionale a cos ky a seconda che k 

 soddisfa, o no, alla (6), e corrisponderà alle condizioni iniziali: 



k 



f(x) = eos(kx) — -^sen^tx) , Y(x) = 0 ('). 



6. Passiamo ora a dare la soluzione generale del nostro problema, limi- 

 tandoci alla determinazione di y(y), per y> 0 e mettendoci nel caso delle 

 vibrazioni forzate di cui il problema delle vibrazioni libere è un caso par- 

 ticolare. Poniamo perciò: 



(7) 



( <Pm(y) = (p{y + 2ml) , tp 0 (y) = <p{y) ; 

 ® m {y) = <% + 2ml) , 0> 0 {y) = $>{y) 



e supponiamo clie in g> m (y) , < I> m {y) . l'argomento varii soltanto fra 0 e 21. 

 Con queste posizioni, abbiamo subito dalla 1'), per qualunque valore di m 



(8) <S> <p m (y) = D y^y) + 2 a*4> m {y - l) . 



Cambiando, nella relazione precedente, ra in eseguendo poi sui due 

 membri l'operazione D w-i e sommando, rispetto ad j. da 1 ad m, si 

 trova 



m 



(8') ® m <pm(y) = D m <p 0 (y) + 2a 2 J_i ^ Dm ~ l — l ì- 



(') Nel caso particolare considerato le II) si riducono ad una sola equazione. Se 

 chiamiamo ki, con i = 1 , 2 , ... , le infinite radici dell'equazione (6), questa equazione 

 trasforma le infinite funzioni non ortogonali eoa kiy nelle infinite funzioni ortogonali, 



k- 



relative all' intervallo 0 — l , cos k%x — — ; sen kiX e trasforma, più in generale una somma 



a* 



o serie convergente 2 Aj cos kiy nella somma o serie convergente 



2 Ai \~cos kiX — ^7 sen ki x~\ . 

 L a* J 



Queste osservazioni suggeriscono le considerazioni seguenti. Una serie Convergente come 

 2 Aj cos kiy può rappresentare una funzione arbitraria, soltanto però in un intervallo di 

 ampiezza /, se le ki sono le infinite radici dell'equazione sen (ki l) = 0, ud anche se esse 

 sono le infinite radici della (6). Nasce quindi la quistione, di importanza teorica e pratica 

 evidente e, per la soluzione della quale, non mi è riuscito di rintracciare una via gene- 

 rale soddisfacente: Supposto che le ki sieno le infinite radici di una data equazione tra- 

 scendente, qual'è il più grande intervallo in cui la serie precedente può rappresentare 

 una funzione arbitraria e, data questa funzione, come si determinano i coefficienti A»? 



