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Matematica. — Un problema di eliminazione. Nota del dot- 

 tore L. Orlando, presentata dal Corrispondente A. Di Legge. 



Siano 



(1) x = <p(t) y = xp(t) 



due funzioni continue della variabile t in un intervallo (^ 0 , T). Noi diremo 

 d'aver risoluto il problema dell'eliminazione di t quando avremo potuto 

 scrivere un'equazione 



(2) ¥(x,y) = 0, 



valida per ogni coppia x , y cbe simultaneamente verifica le (1). Se q> e ip 

 fossero funzioni razionali (anche fratte), allora la funzione risultante (per 

 esempio nella forma di Sylvester) risolverebbe il problema. 



Ma qui siamo in un' ipotesi assai più larga : supponiamo soltanto la 

 continuità di g> e xp ; e pertanto il problema si presenta sostanzialmente 

 più difficile, visto che non possiamo ricorrere a quelle considerazioni d'al- 

 gebra clie rendono piuttosto agevole la formazione della funzione risultante. 

 Un'estensione sarebbe sempre possibile quando si trattasse di funzioni date 

 dal rapporto di due serie di potenze, ma richiederebbe lunghe ed acute 

 disamine sugli algoritmi infiniti, che ne risulterebbero. Qui seguiremo una 

 altra via. 



L'insieme dei punti (x , y), che verificano le (1), è un insieme eviden- 

 temente chiuso (è anche continuo, ma a noi basta la sua qualità d'essere 

 chiuso). Assunto ad arbitrio, nel piano x,y, un punto £,17, consideriamo 

 la funzione 



E($ , rj) = ^(r-g>) 2 + (*?-# • 



Questa funzione avrà, per ogni punto fisso £ , 17, un minimo assoluto /(£ , 17). 

 Questo minimo geometricamente s'interpreta come la distanza del punto x , y 

 dalla curva (1). 



Consideriamo la funzione /(£ , rj) delle due variabili £ , i] . Se £ ed 17 , 

 rispettivamente poste in luogo di x , y nelle (1), le verificano, allora /(£,??) 

 si annulla, nè può evidentemente annullarsi in altri punti. La funzione 

 f{x , y) è dunque uua delle risultanti (2) che noi cercavamo. 



Il segno del radicale (3) può formare oggetto di eleganti considera- 

 zioni, che si riattaccano ad una magistrale trattazione contenuta nei primi 

 capitoli dell'Analisi di Jordan. Si potrebbe imporre che in un punto molto 

 remoto il radicale abbia un determinato segno, per esempio negativo, e che 



