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necessarie (teorema d'Enneper). Quanto ai parametri u , v, noi li supporremo 

 dati, per fissare le idee, dagli archi stessi delle curve r , C , contati a par- 

 tire dal loro punto comune 0. Allora l'espressione K = K(u , v) della cur- 

 vatura (negativa) potrà assumersi affatto ad arbitrio, purché soddisfi alla 

 condizione (necessaria) di ridursi lungo le curve C , r al quadrato, cangiato 

 di segno, della torsione di queste curve. 



Fissati così arbitrariamente questi elementi, dimostreremo esistere una 

 ed una sola superficie S che contiene C , r come asintotiche, e la cui cur- 

 vatura K ha l'espressione prefissata 



K = K{u,v). 



Ad assicurare per altro l'applicabilità dei teoremi generali della teoria delle 

 equazioni a derivate parziali al caso nostro, sarà necessario che ci restrin- 

 giamo al campo analitico; pertanto le curve date C , T, come pure l'espres- 

 sione K(u , v) della curvatura, e la superficie finale stessa saranno supposte 



analitiche. 



Una prima applicazione del teorema generale viene fatta nella presente 

 Nota alle superficie caratterizzate dalla espressione 



(A.) K = - 



della curvatura; una superficie di questa classe (A) viene determinata appena 

 se ne fissano (ad arbitrio) due asintotiche C , r di diverso sistema. Si sa 

 che le superficie (A) sono geometricamente caratterizzate dall'appartenere, 

 come falde focali, a congruenze W per le quali le curvature in punti cor- 

 rispondenti delle due falde focali risultano eguali. Le superficie loro asso- 

 ciate nelle deformazioni infinitesime possono deformarsi in modo continuo 

 con conservazione del sistema coniugato (u , v) e dànno tutte e sole le su- 

 perficie con sistema coniugato persistente. 



Di queste ultime superficie, dopo le ricerche fondamentali di Petersou 

 e Cosserat, molti altri geometri si sono occupati, anche in tempi recenti. 

 Ma nessuno sembra avere avuto conoscenza della teoria delle trasformazioni 

 per congruenze W per le superficie della classe (A), già da me stabilita 

 nel 1890 e riportata nel volume II delle mie Lezioni (§§ 249-252). Ser- 

 vendosi di queste trasformazioni, si possono trovare, con sole quadrature,. 

 quante si vogliano superficie con sistema coniugato persistente, ed in questo 

 risultato generale sono incluse, come casi particolarissimi, molte delle ri- 

 cerche posteriori indicate. 



Credo pertanto opportuno di ritornare nella presente Nota su quei me- 

 todi di trasformazione, limitandomi, per brevità, al caso di quelle speciali 

 superficie S della classe (A) che sono caratterizzate dall'avere per asinto- 

 tiche di un sistema curve a torsione costante, per le quali cioè una delle 



