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due funzioni <p(u) , ty(v) si riduce ad una costante. Qui poniamo le trasfor- 

 mazioni sotto nuova forma e studiamo i sistemi (S) di tali superficie che 

 nascono dall'applicare una successione continua di trasformazioni infinitesime 

 della classe indicata. Come nel caso particolare delle superficie pseudosfe- 

 riche (<p(u) = cost , xp(v) = cost), ove si generano i sistemi obliqui di 

 Weingarten, così anche nel caso attuale le traiettorie descritte dai singoli 

 punti della superficie S sono curve di Bertrand, però di famiglia variabile 

 coll'asintotica a torsione costante del sistema. 



2. Abbiasi una superficie S a curvatura K negativa, che riferiamo alle 

 sue linee asintotiche reali u , v e sia 



(1) ds* = Rìdu 2 -f- 2H,H 2 cos o> du dv + E 2 2 dv* 

 il quadrato del suo elemento lineare, dove 



(2) ds u = ~R.dv , ds v = ~B.idu 



indicano gli archi elementari delle rispettive asintotiche u = cost , v = cost, 

 ed w = (o(u , v) l'angolo delle asintotiche stesse. Indicheremo poi la curva- 

 tura (negativa) K con 



K = — Y*' 



Per il teorema d'Enneper (precisato nel segno) le torsioni ^- , delle 

 asintotiche u = cost , v = cost sono rispettivamente eguali l'ima a 

 l'altra a — — , e noi supporremo 



(4) 1 = i- J- = _J_. 

 v ' T M T ' TV T 



Come triedro principale nel punto (x,y ,z) della superficie, introduciamo 

 il triedro delle tre direzioni principali per l'asintotica u = cost : tangente, 

 normale principale e binormale, i cui rispettivi coseni di direzione saranno 

 indicati al solito con (a p , y) , (£ , ry , f) , (X , fi , v). 



Le derivate di x , y , z rapporto ad u , v possono scriversi sotto la forma 



(5) — = H,(a cos <o -f- £ sen w) , — = H 2 a 



~òU ~òV 



colle analoghe per y , z ; ed è da notarsi che con queste formole si vengono 

 ad attribuire ai coseni di direzione (X , Y , Z) della superficie i valori (') 



(6) X = — X , Y = — ;i , Z = — v. 



(') Cfr. Lezioni, voi. I, pag. 113. 



