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Così per una qualunque superficie S, riferita alle sue linee asintotiche 

 (u , v), abbiamo le forinole fondamentali che riuniamo nel quadro seguente: 



— = H,(a cos co -f - £ sen co) , — = H 2 a 



Dw ~t)V 

 Dm T ~òu T 



(I) 



DA Hi . v \ 



— = 7,r « sen w — è cos co) 

 Dw T v 



D« ìdJF ^ a Hj ^ _d_A H 2 ^ 



Restano da scrivere le condizioni di integrabilità pel sistema (I), equiva- 

 lenti alle equazioni di Gauss e di Codazzi. 



Per le rotazioni, che figurano nella seconda e terza linea del quadro (I), 

 troviamo le tre 



D / H! cos co\ 2 / H., \ H t sen co 



9 \ T ) + T>u \YÌ ~ T 



D / H 1 sen co \ H 2 , . H x cos co . 



Tv\-^F-) = -Y M t 



pL DM Hi H 2 sen co 

 Da ~~ Dy + T 2 ~ ' 



e per le traslazioni, nella prima linea del quadro (I), le altre due 



\ — (H, cos ai) — = H i sen co . L 



} ì>v v 7 Dm 



I — J(H, sen co) = H* M — EU cos co . L . 

 f Di' 



Combinando opportunamente queste cinque equazioni, si ottiene subito il 

 sistema equivalente seguente : 



DH 2 H, coswìT H,ìT 



Dm 

 DL 



2T 



Dm 



2H 2 T ( 



dh, 



Hj DT 



Dy 



2T T>v ' 



Dco 



— L — 



Dy ' 





2T 



» dt _ T \ , 



— Hi cos co L ) + 



Dy / 1 



ltt D / 1 DT\ 



Hi H 2 sen co 



(II) < 



1 2T ~òu 



H 2 sen co DT 

 2H,T Dm ' 



