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mentre la rotazione M risulta espressa dalla forinola 



(10) 



M 



H t sen co ~òT 

 2H 2 T tv ' 



Viceversa se le cinque funzioni H, , H 2 , co , L , T di u , v soddisfano le (II), 

 le formolo (I), nelle quali per M si ponga il valore (10), danno un sistema 

 illimitatamente integrabile e definiscono (intrinsecamente) una superficie S , 

 riferita alle sue asintotiche u,v. 



3. Ora pensiamo la funzione T = T(u , v) assegnata a priori, cioè 



assegnata l'espressione della curvatura K = — ^ . Il sistema (I) delle 



quattro equazioni del 1° ordine per le quattro funzioni incognite 



è un così detto sistema canonico del 1° ordine completamente integrabile ( 1 ). 

 La variabile u è principale per le funzioni (H 2 , L), paramedica per le altre 

 due (Hi,cb)'; invece v è principale per (H, , co) e parametrica per (H 2 , L). 

 Dai teoremi generali sui sistemi di equazioni a derivate parziali risulta 

 che esiste uno ed un solo sistema integrale (olomorfo) che soddisfi alle con- 

 dizioni iniziali seguenti: 



1*) H 2 , L si riducono, per un valore particolare di u, sia u = 0, 

 a funzioni arbitrarie date (olomorfe) della variabile v: 



2 a ) H, , co si riducano similmente per v = 0 a funzioni arbitrarie 

 (olomorfe) di u 



[La funzione data T(u , v) si suppone alla sua volta olomorfa]. 



Interpretando geometricamente queste condizioni, veniamo appunto a 

 stabilire il teorema sulle equazioni intrinseche, indicato al n. 1, come ora 

 andiamo a verificare. 



Occupiamoci dapprima della parte del teorema che si riferisce alla 

 unicità, e supponiamo adunque che le asintotiche u = 0 , v = 0 debbano 



(') Usiamo qui la locuzione introdotta dal Bourlet nella sua Memoria: Sur les 

 équations aux dérivées parlielles simultanées, Annales de l'Ecole Normale Supérieure 

 8* me série, tom. VII (1891) Snpplément. 



I sistemi di equazioni a derivate parziali che si presentano nella massima parte 

 delle ricerche di geometria infinitesimale appartengono alla forma tipica del Bourlet, od 

 a questa si possono ridurre. Diventa quindi, anche geometricamente, d'importanza fon- 

 damentale il teorema per l'esistenza degli integrali stabilito a pag. 35 della citata Me- 

 moria (teorema Vili). 



H 2 , L , H, , co 



H 2 (0,y) 



L(0 , v) ; 



H,(m.O) 



co(u , co) . 



