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questa ipotesi £, = i{ \ — te — |- <- 2 ) , £ 2 = i(\ -4- — i « 2 ) , la (6) diviene 



dalla quale integrando, ponendo z = x -\- iy e separando la parte reale 

 dalla immaginaria, si ottengono le equazioni parametriche del pelo libero, 



2H. 1 — f 4H«s 2 1 



( 7 ) X^ — hg—— , y— y 0 



n " 6 14-C ' * 7T 2 1 +£ 2 ' 



(-1 < 1). 



Le due costanti y 0 ed s vanno valutate esprimendo le seguenti due 

 condizioni : a) che dev'essere y = H per f — 1 ; è) che 2Z è la lunghezza 

 del tratto non orizzontale del letto del canale ('). Si ottiene così: 



TT 2«H« 2 

 y 0 = H — , 



y n l sen « 

 f= 2H 



essendo r la nota funzione euleriana. 



I 1 ) L'espressione dell'elemento lineare del piano z, cioè di \dz\ — \ \* dx 3 -(- dy* | , si 

 può scrivere a norma di (2), 



il secondo membro potendosi esprimere in funzione di C, a mezzo di (3) e (4). Ciò posto, 

 colla voluta approssimazione si ha 



Questo integrale non è altro che [cfr. ad es. Nielsen, ffandbuch der Theorie der Gamma- 

 funktion. Leipzig, 1906, pag. 133] 



'fai) 



da ciò segue la seconda di (8). 



