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di così piccolo modulo che valga la (2): basterà che A sia anch'esso di 

 modulo sufficientemente piccolo. 



Se hi è una radice della (3), sarà 



(4) f(£ -f- h t ) = /(£) (1 -{- A) -f- Ma»! . 



Se ora e denota un numero positivo sufficientemente piccolo, possiamo scrivere 



( 5 ) + ^i) = f(0 (i + * r *) + M 



dove «o* tende a zero se e tende a zero. Per f sufficientemente piccolo, noi 

 possiamo, dunque, ritenere il modulo di /'(£ -f- maggiore del modulo 

 di f(£), se A è positivo; e minore, invece, se A è negativo. Rimane, in 

 ogni caso, stabilito che il modulo di f{s) non può essere nè massimo nè 

 minimo in un punto regolare, nel quale /' non si annulli. Anche la parte 

 reale di f(z) può essere (in ogni punto £ che sia regolare e che non sia 

 radice per la funzione) aumentata o diminuita: dunque neanch'essa può ivi 

 diventare massima o minima; ed altrettanto dicasi per la parte complessa. 



Da questo semplicissimo risultato si ricava subito, in modo noto, il 

 teorema d'esistenza delle radici di un polinomio. Si può inoltre dedurne un 

 teorema di Liouville, che cioè una trascendente intera non può avere il 

 suo modulo racchiuso in limiti fissi. Se, infatti, fosse, per assurdo, M un 

 valore non superato dal modulo della trascendente intera 



HO) = c 0 + ds -f- c 2* 2 + c 3 33 H » 



allora il modulo di -5_£) cioè di 

 g 



— -f Ci + CiZ -f c^ 2 -f • • • . 



z 



e quindi anche quello della serie di potenze 



(6) Ci + c%* + + ■ ■ ■ , ' 



tenderebbe a zero per 3 infinito. Ora la (6) ha, come è bene evidente, lo 

 stesso raggio di convergenza di H ; dunque è anch'essa una trascendente 

 intera. Ma se è nulla all'infinito, dev'essere identicamente nulla, perchè, 

 in caso contrario, il suo modulo avrebbe, al finito, qualche punto di mas- 

 simo, il che è contro ciò che abbiamo stabilito. 



Ho voluto, con brevi e noti metodi, giungere a noti ed importanti ri- 

 sultati, per far vedere come alcune questioni, che ordinariamente si riten- 

 gono superiori all'ingegno e alla cultura dei principianti, sono invece a 

 portata di mano, purché non siano oscurate da ragionamenti poco intelli- 

 gibili. 



